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2015년 8월 21일 (금) 02:50 판
分數, fraction
정의
어떤 수 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 0이 아닌 수 [math]\displaystyle{ b }[/math]로 나눈 것을 [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} }[/math]로 표기하고, 이러한 수를 분수라 부른다. 여기서 나눠지는 수인 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 분자(numerator), 나누눈 수인 [math]\displaystyle{ b }[/math]를 분모(denominator)라 부른다. 혹은 피제수, 제수라고 부르기도 한다. 초등학교나 중학교에서는 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]가 둘 다 자연수, 혹은 정수여야 한다고 설명하는데, 굳이 그럴필요는 없다. 그냥 저런 형태를 띄고 있으면 전부 분수다.
종류
실수에 한해서, 분모와 분자가 서로소이면 기약분수라 부른다. 분모가 분자보다 크면 진분수(proper fraction),[1] 분자가 분모보다 크면 가분수(improper fraction),[2] 그리고 정수와 진분수의 꼴로 나타낸 것을 대분수(mixed fraction)[3]라 부른다. 초등학교에서는 가분수를 대분수로 바꾸라는 등의 고문을 시키는데, 학년이 올라가면서 대분수는 쓰지 않게 된다. [math]\displaystyle{ 2\tfrac{2}{3} }[/math]같은 경우, 이게 [math]\displaystyle{ 2+\frac{2}{3} }[/math]인지, [math]\displaystyle{ 2\cdot\frac{2}{3} }[/math]인지 무슨 수로 구분할 것인가? 게다가 복소수까지 가면 크기 판별이 무의미해지고, 미적분으로 가면 [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} }[/math]같은 것이 튀어나와 더이상 평범한 분수가 아니게 된다. d끼리 약분하면 되는거 아님?
분수/분수의 형태는 번분수라 부른다.[4] 번분수를 평범한 분수로 바꿔주려면, 안쪽끼리 곱하여 분모로, 바깥쪽끼리 곱하여 분자로 보내면 된다. 만약 번분수의 분자, 혹은 분모가 정수라면, 분모가 1이라 생각하고 계산해주자.
분수가 여러개 나열되어있는 형태의 연분수도 존재한다. [math]\displaystyle{ a+\frac{1}{b+\frac{1}{c+\ddots}} }[/math]같은 형태이며, 평범한 분수를 연분수로 바꾸어 주기 위해서는 유클리드 호제법을 사용하면 된다. 자세한 것은 연분수 참조.
마지막으로 부분분수는, 어떤 한 분수를 다른 두 분수의 합 또는 차로 나타내는 것을 말한다. [math]\displaystyle{ \frac{1}{AB}=\frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right) }[/math] 정도는 초등학교 때 보았을 것이며, 이는 가장 대표적인 부분분수. 수학 경시대회 같은 곳에서는 부분분수를 활용한 문제가 매우 많은데, telescoping series의 계산이나 적분 등에서 쓰인다.
연산
어떤 분수의 분자, 분모의 공배수를 상쇄시키는 것을 약분이라 한다. 간단하게 말하면 기약분수로 만들어 주는 과정. 물론 필요에 따라서는 기약분수가 아닌 그 중간 과정의 분수를 사용해야 할 때도 있다. 약분은 분수의 계산을 간단하게 만들어주는 필수요소이다.
분수를 더하거나 빼려면 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 더하면 안된다. 먼저 분모를 같게 만들어 줘야 하며, 이 과정을 통분이라 한다. 분모를 같게 만들어 준 뒤에 분자를 더하면 된다. 분모는 그대로 놔둔다. 분수의 곱셈은 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱하면 된다. 필요에 따라서는 분자와 분모를 약분하여 계산을 간단히 할 수도 있다. 나눗셈은 곱셈으로 바꿔준 뒤에 계산하면 되는데, 이 과정을 역수(reciprocal)를 취한다 한다. 정확히 말하면 역수는 어떤 분수의 분모, 분자를 뒤집은 수를 말하며, 분수의 나눗셈에서는 나눗셈 기호 뒤의 분수를 역수로 바꿔준 뒤, 나눗셈 기호를 곱셈 기호로 바꿔주면 된다.
초등학교에서는 분수를 소수로 바꾸라는 고문을 시키기도 한다. 방법은 그냥 분자를 분모로 나눠주면 된다. 여기서 분모의 약수에 따라 유한 소수인지 순환하는 무한 소수인지 결정이 된다. 분수를 먼저 기약분수로 바꿔준 뒤, 분모의 약수가 2또는 5밖에 없으면 유한 소수, 그렇지 않으면 순환하는 무한 소수가 된다. 아 물론 분자, 분모 모두 정수일 때의 얘기.
중학교에서는 근호가 들어간 분수를 유리화하는 색다른 고문을 시킨다. 분모(혹은 분자)의 켤레근을 분자, 분모에 곱하면 된다. 즉, [math]\displaystyle{ \sqrt{A}\pm\sqrt{B} }[/math]의 경우는 [math]\displaystyle{ \sqrt{A}\mp\sqrt{B} }[/math]를, [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{A}\pm\sqrt[3]{B} }[/math]같은 경우에는 [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{A^2}\mp\sqrt[3]{AB}+\sqrt[3]{B^2} }[/math]를 곱하면 된다. 이는 모두 인수분해를 활용한 것.
고등학교에서는 허수가 들어간 분수를 실수화하는 또 다른 고문을 시킨다. 그만좀 고문시켜! 유리화와 비슷하게 켤레근을 곱하면 된다.