대수학의 기본 정리: 두 판 사이의 차이

2024년 2월 6일 (화) 12:29 기준 최신판

대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)는 다항식의 근에 관한 정리이다. 이는 복소수체가 실수체와 달리 대수적으로 닫힘을 알려준다. 다시 말해, 복소수 계수로 만든 모든 방정식은 복소수 해가 존재한다. 뭐 당연한 거 아닌가 싶겠지만 사실 이거 꽤 신박한 거다. 옛날엔 페르마의 마지막 정리 수준의 이목을 끌었다고 한다.

진술[편집 | 원본 편집]

다음 둘은 서로 동치이며, 둘 중 하나를 대수학의 기본 정리라고 한다:

상수 아닌 복소계수 다항식은 하나 이상의 근을 갖는다.
[math]\displaystyle{ n }[/math]차 복소계수 다항식은 중근을 고려하여 정확히 [math]\displaystyle{ n }[/math] 개의 근을 갖는다. ([math]\displaystyle{ n\in\Bbb N }[/math])

증명[편집 | 원본 편집]

리우빌의 정리(Liouville’s theorem)를 이용하는 해석적 증명[편집 | 원본 편집]

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갈루아 이론을 이용하는 증명[편집 | 원본 편집]

우리가 "방정식을 푼다" 고 할 때 방정식의 해를 어떤 집합에서 찾는지 생각해보자. 실수들의 집합 R, 대수학의 기본정리의 경우 복소수들의 집합 C, 종종 모듈로 연산을 할 경우 [math]\displaystyle{ p }[/math]로 나눈 나머지만을 고려하여 [math]\displaystyle{ \{0,1,2,\ldots, p-1\} }[/math] 에서 해를 찾게 된다. 이러한 작업을 할 수 있는 일반적인 집합이 바로 체(field) 이다. 체에 대한 이론을 정립하고 기존에 고려하던 실수체 R과 C를 넘어서는 수많은 체들에 대해 방정식을 풀게 되면서 기존에 가능하지 않던 접근이 가능해진다. 갈루아 이론은 두 체 [math]\displaystyle{ E\subset F }[/math]가 있을 때 두 체 사이의 체를 갈루아 군이라는 대상의 부분군과 일대일 대응을 시킴으로서 분류를 가능하게 하는 이론이다. 이로서 군에 대하여 정립된 이론 (Sylow theory 등)을 적용할 수 있게 된다.

이 증명에서 이용되는 "대수적이지 않은 성질"은 [math]\displaystyle{ R }[/math] 위의 홀수차수 방정식은 근을 갖는다는 중간값 정리와, 임의의 복소수의 제곱근이 복소수 집합 내에서 존재한다는, 본질적으로 이차방정식의 풀이이다.

중간값 정리는 체에 대한 명제로,"[math]\displaystyle{ R }[/math]의 홀수 차수 확대체(extension field)는 존재하지 않는다"로 번역된다.

이차방정식의 풀이는 체에 대한 명제로, "[math]\displaystyle{ C }[/math] 의 2차 확대체는 존재하지 않는다"로 번역된다.

대수학의 기본정리는 체에 대한 명제로, "[math]\displaystyle{ C }[/math]의 유한 확대체(finite extension field) 는 존재하지 않는다"로 번역된다. 만약 어떤 복소계수 다항식 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] 의 해가 복소수체 [math]\displaystyle{ C }[/math] 내부에서 존재하지 않는다면, 그러한 해들을 미지수 [math]\displaystyle{ \xi }[/math] 로 놓고, 정확히 [math]\displaystyle{ R }[/math] 에서 [math]\displaystyle{ x^2+1=0 }[/math] 의 해를 추가하여 [math]\displaystyle{ C }[/math] 를 만들듯, [math]\displaystyle{ C }[/math]를 포함하는 더 큰 체를 만들 수 있기 때문이다.

이제 중간값 정리와 이차방정식의 풀이를 이용하여 대수학의 기본정리를 증명한다. [math]\displaystyle{ C }[/math] 의 유한 확대체 [math]\displaystyle{ E }[/math] 가 존재한다고 가정하자. 임의의 유한 확대체는 유한 갈루아 확대체에 포함된다. [math]\displaystyle{ F }[/math]를 [math]\displaystyle{ E }[/math]를 포함하는 갈루아 확대체라 하자. 갈루아군 [math]\displaystyle{ Gal(F/R) }[/math] 의 2-Sylow subgroup [math]\displaystyle{ H }[/math] 를 생각하자. 갈루아 이론에 의해 [math]\displaystyle{ [F':R] }[/math] 가 홀수인 [math]\displaystyle{ F }[/math] 의 부분체 [math]\displaystyle{ F' }[/math] 가 존재한다. 하지만 <중간값 정리>에 의해 [math]\displaystyle{ F'=R }[/math] 이고, [math]\displaystyle{ [F,R] }[/math] 는 2의 거듭제곱이어야만 한다. [math]\displaystyle{ [F:R]=[F:C][C:R]=2[F:C] }[/math] 에서 [math]\displaystyle{ [F,C] }[/math] 또한 2의 거듭제곱임을 알 수 있다. 이제 [math]\displaystyle{ [F:C]=2^e\ne 1 }[/math]라 가정하자. Sylow theory의 결과를 다시 한 번 적용하면, [math]\displaystyle{ Gal(F/C) }[/math] 의 원소 개수 [math]\displaystyle{ 2^{e-1} }[/math]인 부분군이 존재하며, 갈루아 이론에 의해 이 부분군에 대응되는 [math]\displaystyle{ C }[/math]의 2차 확대체가 존재하게 된다. 이것은 이차방정식의 풀이에 모순이다. 따라서 [math]\displaystyle{ [F:C]=1 }[/math] 이고 [math]\displaystyle{ F=C }[/math]이다. 이로서 대수학의 기본 정리가 증명되었다.

각주

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-[[분류:대수학]]
+'''대수학의 기본 정리'''(fundamental theorem of algebra)는 [[다항식]]의 근에 관한 [[정리]]이다. 이는 [[복소수|복소수체]]가 [[실수|실수체]]와 달리 대수적으로 닫힘을 알려준다. 다시 말해, '''복소수 계수로 만든 모든 방정식은 복소수 해가 존재한다'''. 뭐 당연한 거 아닌가 싶겠지만 사실 이거 꽤 신박한 거다. 옛날엔 [[페르마의 마지막 정리]] 수준의 이목을 끌었다고 한다.
-[[분류:수학 정리]]
-== 개념 ==
-'''대수학의 기본 정리'''(fundamental theorem of algebra)는 [[다항식]]의 근에 관한 [[정리]]이다. 이는 [[복소수|복소수체]]가 [[실수|실수체]]와 달리 대수적으로 닫힘을 알려준다. 다시 말해, '''복소수 계수로 만든 모든 방정식은 복소수 해가 존재한다'''. 뭐 당연한 거 아닌가 싶겠지만 사실 이거 꽤 신박한 거다. 옛날엔 [[페르마의 마지막 정리]] 수준의 이목을 끌었다고 한다.
 == 진술 ==
-다음 둘은 서로 동치이며, 둘 중 <s>꼴리는</s> 하나를 대수학의 기본 정리라고 한다:
+다음 둘은 서로 동치이며, 둘 중 하나를 대수학의 기본 정리라고 한다:
 * 상수 아닌 복소계수 다항식은 하나 이상의 근을 갖는다.
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 == 증명 ==
-=== 리우빌의 정리(Liouville’s theorem)을 이용하는 해석적 증명 ===
+=== 리우빌의 정리(Liouville’s theorem)를 이용하는 해석적 증명 ===
+{{빈 문단}}
 === 갈루아 이론을 이용하는 증명 ===
+우리가 "방정식을 푼다" 고 할 때 [[방정식]]의 해를 어떤 집합에서 찾는지 생각해보자. 실수들의 집합 R, 대수학의 기본정리의 경우 복소수들의 집합 C, 종종 모듈로 연산을 할 경우 <math> p</math>로 나눈 나머지만을 고려하여 <math> \{0,1,2,\ldots, p-1\} </math> 에서 해를 찾게 된다. 이러한 작업을 할 수 있는 일반적인 집합이 바로 체(field) 이다. 체에 대한 이론을 정립하고 기존에 고려하던 실수체 R과 C를 넘어서는 수많은 체들에 대해 방정식을 풀게 되면서 기존에 가능하지 않던 접근이 가능해진다. 갈루아 이론은 두 체 <math> E\subset F</math>가 있을 때 두 체 사이의 체를 갈루아 군이라는 대상의 부분군과 일대일 대응을 시킴으로서 분류를 가능하게 하는 이론이다. 이로서 군에 대하여 정립된 이론 (Sylow theory 등)을 적용할 수 있게 된다.
-우리가 "방정식을 푼다" 고 할 때 [[방정식]]의 해를 어떤 집합에서 찾는지 생각해보자. 실수들의 집합 R, 대수학의 기본정리의 경우 복소수들의 집합 C, 종종 모듈로 연산을 할 경우 <math> p</math>로 나눈 나머지만을 고려하여 <math> \{0,1,2,\ldots, p-1\} </math> 에서 해를 찾게 된다. 이러한 작업을 할 수 있는 일반적인 집합이 바로 체(field) 이다. 체에 대한 이론을 정립하고 기존에 고려하던 실수체 R과 C를 넘어서는 수많은 체들에 대해 방정식을 풀게 되면서 기존에 가능하지 않던 접근이 가능해진다. 갈루아 이론은 두 체 <math> E\subset F</math>가 있을 때 두 체 사이의 체를 갈루아 군이라는 대상의 부분군과 일대일 대응을 시킴으로서 분류를 가능하게 하는 이론이다. 이로서 군에 대하여 정립된 이론 (Sylow theory 등)을 적용할 수 있게 된다.
+이 증명에서 이용되는 "대수적이지 않은 성질"은 <math> R </math> 위의 홀수차수 방정식은 근을 갖는다는 중간값 정리와, 임의의 복소수의 제곱근이 복소수 집합 내에서 존재한다는, 본질적으로 이차방정식의 풀이이다.
-이 증명에서 이용되는 "대수적이지 않은 성질"은 <math> R </math> 위의 홀수차수 방정식은 근을 갖는다는 <중간값 정리> 와, 임의의 복소수의 제곱근이 복소수 집합 내에서 존재한다는, 본질적으로 <2차방정식의 풀이> 이다.
+중간값 정리는 체에 대한 명제로,"<math> R</math>의 홀수 차수 확대체(extension field)는 존재하지 않는다"로 번역된다.
-<중간값 정리> 는 체에 대한 명제로,"<math> R</math> 의 홀수 차수 확대체(extension field) 는 존재하지 않는다" 로 번역된다.
+이차방정식의 풀이는 체에 대한 명제로, "<math> C</math> 의 2차 확대체는 존재하지 않는다"로 번역된다.
-<2차방정식의 풀이> 는 체에 대한 명제로, "<math> C</math> 의 2차 확대체는 존재하지 않는다" 로 번역된다.
+대수학의 기본정리는 체에 대한 명제로, "<math> C </math>의 유한 확대체(finite extension field) 는 존재하지 않는다"로 번역된다. 만약 어떤 복소계수 다항식 <math> p(x) </math> 의 해가 복소수체 <math> C</math> 내부에서 존재하지 않는다면, 그러한 해들을 미지수 <math> \xi </math> 로 놓고, 정확히 <math> R</math> 에서 <math>x^2+1=0 </math> 의 해를 추가하여 <math>C</math> 를 만들듯, <math> C </math>를 포함하는 더 큰 체를 만들 수 있기 때문이다.
-<대수학의 기본정리> 는 체에 대한 명제로, "<math> C </math>의 유한 확대체(finite extension field) 는 존재하지 않는다" 로 번역된다. 만약 어떤 복소계수 다항식 <math> p(x) </math> 의 해가 복소수체 <math> C</math> 내부에서 존재하지 않는다면, 그러한 해들을 미지수 <math> \xi </math> 로 놓고, 정확히 <math> R</math> 에서 <math>x^2+1=0 </math> 의 해를 추가하여 <math>C</math> 를 만들듯,  <math> C </math> 를 포함하는 더 큰 체를 만들 수 있기 때문이다.
+이제 중간값 정리와 이차방정식의 풀이를 이용하여 대수학의 기본정리를 증명한다. <math> C </math> 의 유한 확대체 <math>E</math> 가 존재한다고 가정하자. 임의의 유한 확대체는 유한 갈루아 확대체에 포함된다. <math> F</math>를 <math > E</math>를 포함하는 갈루아 확대체라 하자. 갈루아군 <math> Gal(F/R) </math> 의 2-Sylow subgroup <math> H</math> 를 생각하자. 갈루아 이론에 의해  <math> [F':R] </math> 가 홀수인 <math> F </math> 의 부분체 <math> F' </math> 가 존재한다. 하지만 <중간값 정리>에 의해 <math> F'=R</math> 이고, <math> [F,R] </math> 는 2의 거듭제곱이어야만 한다. <math> [F:R]=[F:C][C:R]=2[F:C] </math> 에서 <math> [F,C]</math> 또한 2의 거듭제곱임을 알 수 있다. 이제 <math>[F:C]=2^e\ne 1 </math>라 가정하자. Sylow theory의 결과를 다시 한 번 적용하면, <math> Gal(F/C)</math> 의 원소 개수 <math> 2^{e-1}</math>인 부분군이 존재하며, 갈루아 이론에 의해 이 부분군에 대응되는 <math>C</math>의 2차 확대체가 존재하게 된다. 이것은 이차방정식의 풀이에 모순이다. 따라서 <math> [F:C]=1</math> 이고 <math> F=C</math>이다. 이로서 대수학의 기본 정리가 증명되었다.
-이제 중간값 정리와 2차방정식의 풀이를 이용하여 대수학의 기본정리를 증명한다. <math> C </math> 의 유한 확대체 <math>E</math> 가 존재한다고 가정하자. 임의의 유한 확대체는 유한 갈루아 확대체에 포함된다. <math> F</math>를 <math > E</math>를 포함하는 갈루아 확대체라 하자. 갈루아군 <math> Gal(F/R) </math> 의 2-Sylow subgroup <math> H</math> 를 생각하자. 갈루아 이론에 의해  <math> [F':R] </math> 가 홀수인 <math> F </math> 의 부분체 <math> F' </math> 가 존재한다. 하지만 <중간값 정리>에 의해 <math> F'=R</math> 이고, <math> [F,R] </math> 는 2의 거듭제곱이어야만 한다. <math> [F:R]=[F:C][C:R]=2[F:C] </math> 에서 <math> [F,C]</math> 또한 2의 거듭제곱임을 알 수 있다. 이제 <math>[F:C]=2^e\ne 1 </math>라 가정하자. Sylow theory의 결과를 다시 한 번 적용하면, <math> Gal(F/C)</math> 의 원소 개수 <math> 2^{e-1}</math> 인 부분군이 존재하며, 갈루아 이론에 의해 이 부분군에 대응되는 <math>C</math>의 2차 확대체가 존재하게 된다. 이것은 <2차방정식의 풀이>에 모순이다. 따라서 <math> [F:C]=1</math> 이고 <math> F=C</math> 이다. 이로서 대수학의 기본정리가 증명되었다.
+{{각주}}
+[[분류:대수학]]
+[[분류:수학 정리]]