(새 문서: '''동치 관계'''(equivalent relation)는 대칭률, 반사율, 추이율을 만족하는 관계이며, ~로 나타낸다. ==정의== 집합 ''S'' 위의 동치 관계 ~는 다...) |
잔글 (불필요한 공백 제거) |
||
(사용자 7명의 중간 판 10개는 보이지 않습니다) | |||
1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
''' | |||
'''동치관계'''(equivalent relation)는 대칭률, 반사율, 추이율을 만족하는 [[관계]]이며, ~로 나타낸다. | |||
==정의== | ==정의== | ||
집합 ''S'' 위의 | 집합 ''S'' 위의 동치관계 ~는 다음과 같은 조건을 만족하는 관계이다: | ||
: 반사율: ''S''의 원소 ''x''에 대하여 ''x''~''x'' | : 반사율(Reflexivity): ''S''의 원소 ''x''에 대하여 ''x''~''x'' | ||
: 대칭률: ''S''의 원소 ''x, y''에 대하여 ''x''~''y'' ⇔ ''y''~''x'' | : 대칭률(Symmetry): ''S''의 원소 ''x, y''에 대하여 ''x''~''y'' ⇔ ''y''~''x'' | ||
: 추이율: ''S''의 원소 ''x, y, z''에 대하여 ''x''~''y'', ''y''~''z'' ⇒ ''x''~''z'' | : 추이율(Transitivity): ''S''의 원소 ''x, y, z''에 대하여 ''x''~''y'', ''y''~''z'' ⇒ ''x''~''z'' | ||
==동치류== | |||
<math>x</math>의 '''동치류'''(equivalent class) <math>[x]</math>는 <math>x</math>와 동치관계에 있는 원소들의 집합이다. 이의 모음(collection) <math>S/\sim = \{ [x] | x \in S \}</math>을 '''몫집합'''(quotient set)이라고 한다. 어떤 원소를 동치류에 대응시키는 사상 <math>\pi : S \rightarrow S/\sim , x \mapsto [x]</math> 을 '''사영'''(projection)이라고 한다. | |||
==간단한 예시== | |||
추상적인 위 정의를 구체적인 예시를 통해 살펴보자. 예를 들어 '같은 반' 이라는 관계를 생각해보자. 즉, x라는 학생과 y라는 학생이 있어 x~y는 "x는 y와 같은 반에 속해있다." 를 의미한다고 하자. 그렇다면 이 관계는 동치관계인가? | |||
;반사율: 임의의 학생 x는 당연히 자기 자신 x와 같은 반에 속해 있다. 그러므로 반사율이 성립한다. | |||
;대칭률: 임의의 학생 x, y에 대해, x가 y와 같은 반에 속해 있다면, y가 x와 같은 반에 속해 있음은 자명하다. 그러므로 대칭률도 성립한다. | |||
;추이율: 학생 x, y, z가 있어서 x가 y와 같은 반에 속해있고, y가 z와 같은 반에 속해있다면, x는 z와 같은 반에 속해있다. 따라서 추이율도 성립한다. | |||
따라서 우리가 상정한 '같은 반' 관계는 동치관계라 부를 수 있다. 또한 이 예시에서 알 수 있듯이, 동치관계는 '반'과 같은 분할 (partition)과 밀접한 연관을 가지고 있다<ref>실제로 동치관계가 주어지면 분할 (partition)을 알아낼 수 있고, 분할이 주어지면 동치관계를 정의할 수 있다.</ref>. 동치류는 바로 이 사실과 관련되는 개념이다. | |||
{{주석}} | |||
[[분류:집합론]] | [[분류:집합론]] | ||
[[분류: | [[분류:대수학]] |
2021년 6월 15일 (화) 18:14 기준 최신판
동치관계(equivalent relation)는 대칭률, 반사율, 추이율을 만족하는 관계이며, ~로 나타낸다.
정의[편집 | 원본 편집]
집합 S 위의 동치관계 ~는 다음과 같은 조건을 만족하는 관계이다:
- 반사율(Reflexivity): S의 원소 x에 대하여 x~x
- 대칭률(Symmetry): S의 원소 x, y에 대하여 x~y ⇔ y~x
- 추이율(Transitivity): S의 원소 x, y, z에 대하여 x~y, y~z ⇒ x~z
동치류[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ x }[/math]의 동치류(equivalent class) [math]\displaystyle{ [x] }[/math]는 [math]\displaystyle{ x }[/math]와 동치관계에 있는 원소들의 집합이다. 이의 모음(collection) [math]\displaystyle{ S/\sim = \{ [x] | x \in S \} }[/math]을 몫집합(quotient set)이라고 한다. 어떤 원소를 동치류에 대응시키는 사상 [math]\displaystyle{ \pi : S \rightarrow S/\sim , x \mapsto [x] }[/math] 을 사영(projection)이라고 한다.
간단한 예시[편집 | 원본 편집]
추상적인 위 정의를 구체적인 예시를 통해 살펴보자. 예를 들어 '같은 반' 이라는 관계를 생각해보자. 즉, x라는 학생과 y라는 학생이 있어 x~y는 "x는 y와 같은 반에 속해있다." 를 의미한다고 하자. 그렇다면 이 관계는 동치관계인가?
- 반사율
- 임의의 학생 x는 당연히 자기 자신 x와 같은 반에 속해 있다. 그러므로 반사율이 성립한다.
- 대칭률
- 임의의 학생 x, y에 대해, x가 y와 같은 반에 속해 있다면, y가 x와 같은 반에 속해 있음은 자명하다. 그러므로 대칭률도 성립한다.
- 추이율
- 학생 x, y, z가 있어서 x가 y와 같은 반에 속해있고, y가 z와 같은 반에 속해있다면, x는 z와 같은 반에 속해있다. 따라서 추이율도 성립한다.
따라서 우리가 상정한 '같은 반' 관계는 동치관계라 부를 수 있다. 또한 이 예시에서 알 수 있듯이, 동치관계는 '반'과 같은 분할 (partition)과 밀접한 연관을 가지고 있다[1]. 동치류는 바로 이 사실과 관련되는 개념이다.
각주
- ↑ 실제로 동치관계가 주어지면 분할 (partition)을 알아낼 수 있고, 분할이 주어지면 동치관계를 정의할 수 있다.