감마함수

이상적분으로 정의된 함수

[math]\displaystyle{ \Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt,\quad x\gt 0 }[/math]

를 감마함수(Gamma function)라고 한다.

성질

부분적분법을 이용하면

[math]\displaystyle{ \begin{align} \Gamma(x+1)&=\int_0^{\infty}t^x e^{-t}dt\\ &=[-t^xe^{-t}]_0^{\infty}+x\int_0^{\infty}t^{x-1} e^{-t}dt\\ &=x\Gamma(x) \end{align} }[/math]

임을 안다. 이 성질은 감마함수의 정의역을 0 이하의 정수가 아닌 복소수로 확장할 때 사용된다. 감마함수의 정의역을 자연수로 국한시키면 계승(팩토리얼)이 된다.

[math]\displaystyle{ \Gamma(n)=(n-1)! }[/math]

한편,

[math]\displaystyle{ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{t}}e^{-t}dt }[/math]

인데, [math]\displaystyle{ u=\sqrt{t} }[/math]로 두면

[math]\displaystyle{ \int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{t}}e^{-t}dt=\int_0^{\infty}2e^{-u^2}du=\sqrt{\pi} }[/math]

이다. 따라서

[math]\displaystyle{ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} }[/math]

를 얻는다. 이외에 다음 식이 성립한다.

[math]\displaystyle{ \Gamma\left ( k+\frac{1}{2} \right )=\sqrt{\pi}{4}^{-k}\frac{\left ( 2k \right )!}{k!} }[/math], ([math]\displaystyle{ k }[/math]가 자연수일때)

[math]\displaystyle{ \Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin \pi x} }[/math]

같이 보기

• 베타함수