로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!'''피타고라스 소수'''(Pythagorean prime)는 4로 나눈 나머지가 1인 [[소수 (정수)|소수]]이다. 이 형태의 소수는 두 자연수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있다. 즉 이 소수의 제곱근은 [[피타고라스 정리]]에 의해 밑변 및 윗변의 길이가 자연수인 직각삼각형의 빗변의 길이로 표현할 수 있다. 가장 작은 피타고라스 소수들을 나열하면 아래와 같다. :5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 109, 113, 137, 149, … == 무한한 개수 == [[디리클레 등차수열 정리]]에 따르면 피타고라스 소수의 개수는 무한함을 바로 알 수 있다. 물론 이 사실은 유클리드의 증명, 즉 '''모든 소수'''는 무한히 많다는 사실을 증명하는 방식과 비슷하게 이끌어낼 수도 있다. 먼저 피타고라스 소수의 개수가 유한하다고 가정하고 <math>A = \{p_1, p_2, \cdots p_k \}</math>가 그 유한한 목록이라 하자. 그 다음 <math>N=(2p_1p_2 \cdots p_k)^2+1</math>이라 하면 주어진 어떤 소수로도 <math>N</math>을 나눌 수 없다. 그러므로 <math>N</math>은 위 목록에는 없는 새로운 소수를 약수로 갖는다. <math>p \mid N, p \not \in A</math>라 하면 <math>(2p_1p_2 \cdots p_k)^2 \equiv -1 \pmod p</math>이므로 -1은 법 <math>p</math>에 대한 [[이차잉여]]이다. <math>N</math>은 홀수이므로 <math>p \equiv 1 \pmod 4</math>이며, 마찬가지로 피타고라스 소수이다. 그런데 이는 집합 <math>A</math> 내에 들어있지 않으므로 모순이 발생한다. 따라서 피타고라스 소수는 무한히 존재한다. == 두 자연수의 제곱의 합 == 짝수의 제곱과 홀수의 제곱의 합은 언제나 <math>4k+1 (k \in \mathbb{N})</math>의 꼴이다. 하지만 역으로 어떤 자연수가 <math>4k+1</math> 꼴이라고 해서 반드시 두 제곱수의 합으로 표현되지는 않으며, 반례로 21, 33 등이 있다. 물론 해당 자연수를 소수로 한정하면 역도 참이 된다. 모든 피타고라스 소수는 서로소인 두 자연수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있으며, 그 순서쌍은 유일하다. 단, 두 수의 순서를 바꿔서 일치하는 순서쌍은 같은 것으로 간주한다. 존재성 증명은 [[페르마의 두 제곱수 정리]] 문서에 있다. 만약 <math>n=a^2+b^2=c^2+d^2, a, b, c, d \in \mathbb{N}</math>이고 <math>\{a, b\} \neq \{c, d\}</math>이면 <math>n</math>은 합성수이다. 또, <math>\gcd(a, b)=1 \text{ or } \gcd(c, d)=1</math>이면 <math>n</math>은 피타고라스 소수만을 소인수로 갖는다. 이러한 두 순서쌍을 찾아서 합성수를 소인수분해하는 방법이 바로 [[오일러 소인수분해법]]이다. * 소수인 예: <math>1997=34^2+29^2, 2017=44^2+9^2, 2029=2^2+45^2</math> * 피타고라스 소수의 곱: <math>2005=5 \cdot 401=18^2+41^2=22^2+39^2, 2041=13 \cdot 157=4^2+45^2=40^2+21^2</math> * <math>k \geq 1</math>일 때, [[페르마 수]] <math>F_k=2^{2^k}+1</math>은 항상 피타고라스 소수이거나 이들을 소인수로 갖는다. == 가우스 소수와의 관계 == [[가우스 소수]]는 [[환 (수학)|환]] <math>\mathbb{Z}[i]</math>내에서의 곱셈 원소로, 통상적인 자연수 집합에서의 소수의 확장된 정의 중 하나이다. 피타고라스 소수는 실수가 아닌 가우스 소수들의 곱으로 표현할 수 있으며, 두 수는 켤레복소수 관계이다. 또, 가우스 소수의 절댓값의 제곱으로도 써진다. :<math>5=(2+i)(2-i)=|2+i|^2, 13=(3+2i)(3-2i)=|3+2i|^2, 17=(4+i)(4-i)=|4+i|^2, \cdots</math> == 피타고라스 수 == 모든 피타고라스 소수는 변의 길이가 모두 자연수인 직각삼각형의 빗변의 길이가 될 수 있다. 즉 [[피타고라스 수]]의 순서쌍 중 가장 큰 값에 해당한다. 만약 짧은 두 변의 길이가 서로소인 자연수이고 빗변의 길이도 자연수이면, 빗변의 길이는 피타고라스 소수이거나 이들의 곱으로 이루어져 있다. <math>p=a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)</math>의 양 변을 제곱하면 :<math>p^2=(a+bi)^2(a-bi)^2=(a^2-b^2+2abi)(a^2-b^2-2abi)=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2</math> 이며, 이는 세 변의 길이가 <math>(a^2-b^2, 2ab, a^2+b^2)</math>인 직각삼각형에 해당한다. 빗변의 길이가 소수인 피타고라스 수는 아래와 같다. :(3, 4, 5), (5, 12, 13), (15, 8, 17), (20, 21, 29), (35, 12, 37), (9, 40, 41), (45, 28, 53), (11, 60, 61), (55, 48, 73), … {{각주}} {{소수}} [[분류:정수론]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:소수 (편집) 틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)