로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요![[파일:Parallelogram.svg]] Parallelogram == 정의 == [[사각형]] 중, 두 쌍의 대변이 각각 [[평행]]한 사각형. [[사다리꼴]]의 세부 분류이며, 사다리꼴과는 달리 학교에서 자세히 다루게 되는 도형이다. == 필요충분조건 == 일단 평행사변형의 정의는 따로 있지만, 그 정의와 필요충분조건인 다른 조건들이 꽤 많다. 아래는 그 목록. #두 쌍의 대변의 길이가 같다. #두 쌍의 대각의 크기가 같다. #두 대각선이 서로를 이등분한다. #한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다. === 증명 === 1. <math>\triangle{ABC}\cong\triangle{CDA}</math>(SSS 합동)임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 <math>\angle{CAB}=\angle{ACD}</math>이고, 이는 곧 <math>\overline{AB}\parallel\overline{CD}</math>를 의미한다 ([[엇각]]). 마찬가지로 <math>\triangle{ADB}\cong\triangle{CBD}</math>(SSS 합동)이고, <math>\angle{ADB}=\angle{CBD}</math>이므로 <math>\overline{AD}\parallel\overline{BC}</math>이다 (엇각). 2. <math>\angle{A}=\angle{C}=\alpha,\,\angle{B}=\angle{D}=\beta</math>라 하자. 사각형의 내각의 합은 360도 이므로, <math>2\alpha+2\beta=360^\circ,\,\alpha+\beta=180^\circ</math>이다. 이를 이용해 [[엇각]]을 보일 수 있고, 따라서 <math>\overline{AB}\parallel\overline{CD},\,\overline{AD}\parallel\overline{BC}</math>이다. 3. <math>\triangle{AEB}\cong\triangle{CED}</math>(SAS 합동)이고, 따라서 <math>\angle{EAB}=\angle{ECD}</math>이므로 <math>\overline{AB}\parallel\overline{CD}</math>이다 ([[엇각]]). 마찬가지로 <math>\triangle{AED}\cong\triangle{CEB}</math>이고, 따라서 <math>\angle{EAD}=\angle{ECB}</math>이므로 <math>\overline{AD}\parallel\overline{BC}</math>이다 (엇각). 4. <math>\overline{AB}\parallel\overline{CD}</math>이므로 <math>\angle{EAB}=\angle{ECD},\,\angle{EBA}=\angle{EDC}</math>이다 ([[엇각]]). 따라서 <math>\triangle{EAB}\cong\triangle{ECD}</math>(ASA 합동)이고, 3번 조건에 의해 증명하고자 하는 바가 증명되었다. === 역의 증명 === 1. <math>\overline{AB}\parallel\overline{CD}</math>이므로 <math>\angle{CAB}=\angle{ACD}</math>. 또한, <math>\overline{AD}\parallel\overline{BC}</math>이므로 <math>\angle{ACB}\angle{CAD}</math>. 그리고 <math>\overline{AC}</math>공통. 따라서 <math>\triangle{ABC}\cong\triangle{CDA}</math>(ASA 합동). 따라서 <math>\overline{AB}=\overline{CD},\,\overline{AD}=\overline{BC}</math>. 2. <math>\overline{AB}\parallel\overline{CD}</math>이므로 <math>\angle{CAB}=\angle{ACD}</math>. <math>\overline{AD}\parallel\overline{BC}</math>이므로 <math>\angle{DAC}=\angle{BCA}</math>. 따라서 <math>\angle A=\angle C</math>. 마찬가지 방법으로 <math>\angle B=\angle D</math>를 증명할 수 있다. 3. 1번에 의해 <math>\overline{AB}=\overline{CD}</math>. 또한, <math>\overline{AB}\parallel\overline{CD}</math>이므로 <math>\angle{EAB}=\angle{ECD},\,\angle{EBA}=\angle{EDC}</math>. 따라서 <math>\triangle{EAB}\cong\triangle{ECD}</math> (ASA 합동). 그러므로 <math>\overline{EA}=\overline{EC},\,\overline{EB}=\overline{ED}</math> 4. 1번에 의해 증명이 완료되었다. == 넓이 == 사다리꼴의 넓이는 [[직사각형]]과 마찬가지로 밑변<math>\times</math>높이인데, 이유는 간단하다. 튀어나온 부분을 툭 짤라서 반대편에 붙이면 직사각형이 되기 때문. 혹은 <math>\overline{AB}=a,\,\overline{BC}=b,\,\angle{A}=\theta</math>라 하면 [[삼각함수]]를 이용해 <math>2\times\frac{1}{2}\times ab\sin\theta=ab\sin\theta</math>로 구할 수도 있다. 대각선의 길이를 이용할 수도 있는데, 두 대각선의 길이를 각각 <math>p,q</math>라 하고 교각을 <math>\theta</math>라 하면 <math>\frac{1}{2}pq\sin\theta</math>가 넓이가 된다. 이유는 두 대각선을 변으로 하는 평행사변형을 만들었을 때, 원 사각형의 넓이의 두배가 되기 때문. ==응용== {| class="wikitable" |- | [[파일:Euclid Elements 1-35.svg|400px]] |- | 유클리드 기하학 원론 제1권 법칙35 |} {{인용문| Parallelograms on the same base (BC) and between the same parallels are equal. 같은 밑변(BC)과 같은 평행선 사이의 평행사변형들(parallelograms)은 같습니다.|유클리드 기하학 원론 제1권 법칙35}} 공통 밑변 <math>\overline{BC}</math>를 갖는 평행사변형 <math>ABCD, DBCF</math>의 변 <math>\overline{AD}, \overline{DF}</math>가 같은 점 <math>D</math>에서 끝나도록 하면 각 평행사변형은 삼각형 <math>BCD</math>의 두 배이다. 따라서 그들은 서로 동등하다. 이러한 제1권35번 법칙(theorem)은 평행사변형의 정의 및 성질을 잘 보여줄뿐만아니라 이등분된 [[삼각형]]에서 평행사변형들의 변형된 모습이 일관된 크기를 유지한다는 사실을 증명해보여줌으로써 유클리드 기하학적인 [[피타고라스 정리]](유클리드 기하학 원론 제1권 법칙47)와 초등기하학의 핵심인 삼각형의 넓이<math>\left( {{1}\over{2}}\cdot \text{밑변} \cdot \text{높이} \right)</math> 공식(유클리드 기하학 원론 제1권 법칙37) 을 증명해 보여준다. == 관련 항목 == *[[사각형]] *[[사다리꼴]] *[[마름모]] *[[직사각형]] *[[정사각형]] <hr> *[참고](유클리드 기하학 원론,구텐베르크 프로젝트,John Casey 1885)http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc {{주석}} [[분류:사각형]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 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Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:인용문 (원본 보기) (준보호됨)틀:주석 (편집)