페르마의 두 제곱수 정리 편집하기

'''페르마의 두 제곱수 정리'''({{llang|fr|Théorème des deux carrés de Fermat}}, Fermat's theorem on sums of two squares, -數 定理)는 [[정수론]]의 정리로, [[프랑스]]의 [[알베르 지라르]]가 [[1632년]] 처음 착상하고 역시 프랑스 수학자인 [[피에르 드 페르마]]가 [[1640년]] [[마랭 메르센]]에게 보내는 편지에서 처음 증명을 제시하였으나 완전하지 못했다. 이 정리가 처음 증명된 것은 [[1749년]] [[스위스]] 수학자 [[레온하르트 오일러]]가 [[크리스티안 골트바흐]]에게 보내는 편지에서였다.

이 정리는 다음과 같은 내용을 담고 있다.<ref name="a">오정환, 이준복, 《정수론》, 2003, 167-168쪽.</ref>

* 만약 어떤 [[소수]] p가 4로 나누어 나머지가 1이 된다면, 적당한 두 [[자연수]] a, b가 존재하여 <math>p = a^2 + b^2</math> 를 만족한다.

== 증명 ==
오일러가 처음 제시한 증명은 [[무한강하법]]을 이용하는 것이었으나, 현재까지 제시된 이 정리의 증명 중에서는 비교적 복잡하다. 여기서는 투에의 보조정리(Thue's Lemma)를 이용한 증명을 제시한다.<ref name="a"/>

=== 투에의 보조정리 증명 ===
투에의 보조정리는 다음과 같이 주어진다.

'''만일 GCD(a,n)=1이면, |x|<√n,  |y|<√n과 ax≡y (mod n)을 만족하는 x, y가 존재한다.'''

우선 법  n에 대해 집합 {ax-y| 0≤x≤√n,  0≤y≤√n}를 생각한다. 그러면 이 집합의 원소의 개수는 최소 <math>(\lfloor{\sqrt n}\rfloor +1)^2 </math>개가 된다. 분명히 법 n은 n개의 합동이 아닌 원소를 포함하고 있고,  <math>(\lfloor{\sqrt n}\rfloor +1)^2  > n</math>이므로 [[비둘기집의 원리]]에 의해서 ax<sub>0</sub>-y<sub>0</sub>=ax<sub>1</sub>-y<sub>1</sub>를 만족하는 x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>, y<sub>0</sub>, y<sub>1</sub>가 존재한다. 따라서 a(x<sub>0</sub>-x<sub>1</sub>)=y<sub>0</sub>-y<sub>1</sub>가 되고, x<sub>0</sub>-x<sub>1</sub> , y<sub>0</sub>-y<sub>1</sub>의 절댓값은 √n보다 작게 된다.

=== 정리의 증명 ===
4k+1 꼴의 소수 p에 대해서는 -1이 [[제곱잉여]]가 되므로, <math>a^2 \equiv -1 \pmod{p}</math> 가 되는 [[정수]] a가 존재한다.

(a, p) = 1이므로, 투에의 보조정리에 따라서, [[합동식]] <math> ax \equiv y \pmod{p}</math> 와 <math>0 < |x|, |y| < \sqrt{p}</math> 을 만족하는 정수 x, y가 존재한다.

그러므로,
: <math>y^2 \equiv (ax)^2 \equiv -x^2 \pmod{p}</math>

이므로 적당한 정수 r에 대해 <math>x^2 + y^2 = rp</math> 이 된다. 그런데 x, y의 조건에 의해 이를 만족하는 r은 1뿐이다.

반면 모든 제곱수는 4k+1 또는 4k꼴이기에 두 제곱수의 합은 4k(짝수+짝수), 4k+1(짝수+홀수), 4k+2(홀수+홀수)꼴만 존재하고, 4k+3 형태는 존재하지 않음을 알 수 있다.

== 확장 ==
페르마의 두 제곱수 정리는 다음과 같은 꼴로 확장할 수 있다.<ref name="a"/>

* [[자연수]] n이 두 제곱수의 합으로 표현될 [[필요충분조건]]은 적당한 자연수 a와 4n+3 꼴의 [[소인수]]를 갖지 않는 제곱 자유수 b에 대해 <math>n = a^2b</math> 일 것이다.

충분조건은 어떤 두 제곱수의 합으로 표현되는 수의 곱도 두 제곱수의 합임을 이용하면 자명하다. 필요조건의 증명에는 [[제곱잉여]]의 이론을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[라그랑주의 네 제곱수 정리]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자=오정환|공저자=이준복|제목=정수론|날짜=2003}}

{{각주}}

[[분류:수학 정리]]
[[분류:정수론]]


{{퍼온문서|페르마의 두 제곱수 정리|16057754|일부}}
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	'''페르마의 두 제곱수 정리'''({{~~프랑스어~~\|Théorème des deux carrés de Fermat}}, Fermat's theorem on sums of two squares, -數定理)는 [[정수론]]의 정리로, [[프랑스]]의 [[알베르 지라르]]가 [[1632년]] 처음 착상하고 역시 프랑스 수학자인 [[피에르 드 페르마]]가 [[1640년]] [[마랭 메르센]]에게 보내는 편지에서 처음 증명을 제시하였으나 완전하지 못했다. 이 정리가 처음 증명된 것은 [[1749년]] [[스위스]] 수학자 [[레온하르트 오일러]]가 [[크리스티안 골트바흐]]에게 보내는 편지에서였다.		'''페르마의 두 제곱수 정리'''({{llang\|fr\|Théorème des deux carrés de Fermat}}, Fermat's theorem on sums of two squares, -數定理)는 [[정수론]]의 정리로, [[프랑스]]의 [[알베르 지라르]]가 [[1632년]] 처음 착상하고 역시 프랑스 수학자인 [[피에르 드 페르마]]가 [[1640년]] [[마랭 메르센]]에게 보내는 편지에서 처음 증명을 제시하였으나 완전하지 못했다. 이 정리가 처음 증명된 것은 [[1749년]] [[스위스]] 수학자 [[레온하르트 오일러]]가 [[크리스티안 골트바흐]]에게 보내는 편지에서였다.

	이 정리는 다음과 같은 내용을 담고 있다.<ref name="a">오정환, 이준복, 《정수론》, 2003, 167-168쪽.</ref>		이 정리는 다음과 같은 내용을 담고 있다.<ref name="a">오정환, 이준복, 《정수론》, 2003, 167-168쪽.</ref>