로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!{{다른 뜻|카르노의 정리 (열역학)||[[카르노 기관]]에 관한 정리}} '''카르노의 정리'''(Carnot's theorem, -定理)는 [[유클리드 기하학|유클리드 평면 기하학]]의 [[정리]]로, [[프랑스]]의 [[공학자]]이자 [[수학자]]인 [[라자르 카르노]](Lazare Carnot, [[1753년]] - [[1823년]])의 이름이 붙어 있다. 다음과 같이 간단히 공식화할 수 있다. [[파일:카르노의 정리.png||오른쪽]] * ABC를 임의의 [[삼각형]]이라 하고, O를 이 삼각형에 외접하는 [[원 (기하)|원]]의 중심이라 하자. 그러면 O에서 AB, BC, CA에 대한 부호거리(signed distances)는 다음을 만족한다.(우측 도해 참조) * X, Y, Z는 각각 원의 중심 O에서 BC, CA, AB에 내리는 수선의 발이라고 한다. * <math>OX + OY + OZ = R + r,\ </math> 여기서 R는 ABC의 [[외접원]]의 [[반지름]], r는 ABC의 [[내접원]]의 반지름이다. 부호거리가 [[음수]]가 되는 경우는 외접원의 중심에서 내린 수선이 ABC의 바깥에만 놓이는 경우이며, ABC의 안팎에 겹치거나 안쪽에만 놓이면 부호거리는 [[양수 (수학)|양수]]가 된다. 카르노의 정리는 [[일본인의 정리]]를 증명하는 데도 이용된다. == 증명 == 일단 <math> \bar{OX}=R \cos ( \angle A), \bar{OY}=R \cos ( \angle B), \bar{OZ}=R \cos ( \angle C) </math>이므로 <ref> 삼각형 바깥쪽으로 뻗은 수선의 길이는 음수가 된다. </ref> <math>OX + OY + OZ = R \cos ( \angle A)+\cos ( \angle B)+\cos ( \angle C) </math> (1) 한편 삼각형 <math>\triangle ABC </math>의 넓이는 <math> S = 1/2 \times (OX \cdot BC + OY \cdot AC + OZ \cdot AB) </math> [[사인법칙]]을 이용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. <math> S = R^2 \times \left( \cos ( \angle A) \sin( \angle A ) + \cos ( \angle B) \sin ( \angle B )+ \cos ( \angle C) \sin ( \angle C) \right) </math> (2) 한편 삼각형의 넓이는 내접원의 반지름 r에 대해서 다음과 같은 결과가 나온다. <math> S = 1/2 \times r \times ( AB + BC +CA ) = rR \times ( \sin ( \angle A) + \sin (\angle B) + \sin (\angle C) </math> (3) (3)에서 (2)을 나누면 <math> r/R = \frac { \left( \cos ( \angle A) \sin( \angle A ) + \cos ( \angle B) \sin ( \angle B )+ \cos ( \angle C) \sin ( \angle C) \right) }{ \sin (\angle A) + \sin ( \angle B) + \sin ( \angle C) } </math> (4) (4)에서 <math> 1 +r/R = \frac { \left( \cos ( \angle A) \sin( \angle A ) + \cos ( \angle B) \sin ( \angle B )+ \cos ( \angle C) \sin ( \angle C) \right) + \sin (\angle A) + \sin ( \angle B) + \sin ( \angle C) }{ \sin (\angle A) + \sin ( \angle B) + \sin ( \angle C) } </math> (5) 이제 (5) = <math> \cos ( \angle A ) + \cos (\angle B) + \cos (\angle C) </math>임을 보이면 된다. 하지만 <math> \angle A + \angle B + \angle C = \pi </math>이므로 [[삼각함수의 덧셈정리]]를 이용하면 <math> \begin{align} (& \cos ( \angle A ) + \cos (\angle B) + \cos (\angle C) )( \sin ( \angle A ) + \sin (\angle B) + \sin (\angle C) ) \\ =& \left( \cos ( \angle A) \sin( \angle A ) + \cos ( \angle B) \sin ( \angle B )+ \cos ( \angle C) \sin ( \angle C) \right) \\ +& \left ( \sin (\angle A) \cos ( \angle B) + \cos (\angle A) \sin (\angle B) \right) \\ +& \left ( \sin (\angle A) \cos ( \angle C) + \cos (\angle A) \sin (\angle C) \right) \\ +& \left ( \sin (\angle B) \cos ( \angle C) + \cos (\angle B) \sin (\angle C) \right) \\ =& \left( \cos ( \angle A) \sin( \angle A ) + \cos ( \angle B) \sin ( \angle B )+ \cos ( \angle C) \sin ( \angle C) \right)\\ +& \sin (\angle A) + \sin ( \angle B) + \sin ( \angle C) \end{align} </math> 따라서 카르노의 정리가 증명되었다. == 관련 문서 == * [[일본인의 정리]] == 외부 링크 == * [http://mathworld.wolfram.com/CarnotsTheorem.html 카르노의 정리 - 매스월드] {{각주}} [[분류:기하학]] {{퍼온문서|카르노의 정리|10503249}} 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:다른 뜻 (원본 보기) (준보호됨)틀:알림바 (원본 보기) (보호됨)틀:퍼온문서 (원본 보기) (준보호됨)이 문서는 다음의 숨은 분류 1개에 속해 있습니다: 분류:퍼온 문서