소수 (기수법) 편집하기

{{다른 뜻|3=1과 자신만을 약수로 갖는 수(素數)|1=소수 (수론)}}
Decimal<ref>Decimal에는 ‘십진법의’라는 뜻도 있어서, 필요한 경우(그런 뜻으로 쓰인 경우) ‘십진소수’라고 번역할 수 있어 보인다.</ref>, 小數.

== 정의 ==
(1보다 작은 단위에서 유의미한 값을 가지는) [[실수]]를 소수점을 이용해 나타낸 것.<ref>“다음 분수를 <u>소수</u>로 나타내라” 따위의 쓰임에서 그렇다.</ref> 나아가 그와 같이 나타낸 수를 일컫기도 한다.<ref>“소수의 크기 비교” 따위의 쓰임에서 그렇다.</ref>

[[초등학교]]에서 (2009년 개정 교육과정에서는 3학년 1학기) [[분수 (수학)|분수]]와 함께 배우며, 초등학생들을 숱하게 괴롭히는 개념이지만 학년이 올라갈수록 쓰이지 않는 개념 중 하나이다.

좀 더 정확히 말하자면 초등학교에서 배우는 것은 유한소수이며, 이에 상대되는 개념인 무한소수는 중학교 때 처음 만나지만 대학교까지 가서 무한급수를 제대로 배워야 그 정체를 알게 된다.

아래 내용은 특별한 말이 없는 한, 전부 10진법에서의 소수를 다루는 것으로 생각하자.

== 역사 ==
알려진 바에 의하면 최초의 소수 표기는 기원전 1세기 쯤 고대 중국에서 만들어 졌다고 한다. 이후 중동을 거쳐 유럽에 전파된 것으로 추정된다.<ref>Lam Lay Yong, "The Development of Hindu-Arabic and Traditional Chinese Arithmetic", Chinese Science, 1996 p38, Kurt Vogel notation</ref><ref>Joseph Needham (1959). "Decimal System". Science and Civilisation in China, Volume III, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Cambridge University Press.</ref> 물론 시대가 시대인 만큼 현대인들은 알아볼 수 없는 표기를 사용하였다. 현대적 표기와 그나마 가장 가까운 형식의 소수점 표기는 16세기에 나타났다. 1530년에는 바(bar)를 사용해서 소수점 표기를 나타내었다.<ref><math>1^{\underline{234}}</math>와 같다.</ref> 1585년의 사이몬 스테빈(Simon Stevin)은 다른 표기를 사용하였는데, 이건 현대적 표기와는 많이 떨어져 있다.<ref>1.234를 1⓪2①3②4④로 표기하였다.</ref> 그러다 시대가 흐르면서 반점(,) 또는 온점(.)으로 소수점을 나타내게 되었다. 한국이나 미국에서는 .를 사용하지만, 독일과 같은 몇몇 유럽 국가에서는 ,를 사용하니 알아두자.

== 종류 ==
{| class="wikitable" style="margin: auto; text-align: center;"
|-
| colspan="6" | <big><big>실수(實數)</big></big>
|-
! rowspan="4" style="color: black; background: #FF0000;" | 정수(整數)
| colspan="5" style="color: black; background: #00FFFF;" | 소수(小數)
|-
| rowspan="3" style="color: yellow; background: #005500;" | 유한소수<br>(有限小數)
| colspan="4" style="color: white; background: #00AAFF;" | 무한소수(無限小數)
|-
| colspan="2" style="color: yellow; background: #00AA00;" | 순환 무한소수(유리수, 有理數)
| colspan="2" style="color: white; background: #0000FF;" | 비순환 무한소수(무리수, 無理數)
|-
| style="color: yellow; background: #005500;" | 혼순환 무한소수<br>(混循環 無限小數)
| style="color: yellow; background: #005500;" | 순순환 무한소수<br>(純循環 無限小數)
| style="color: white; background: #000080;" | 대수적 비순환 무한소수<br>(代數的 非循環 無限小數)
| style="color: white; background: #00007E;" | 초월적 비순환 무한소수<br>(超越的 非循環 無限小數)
|}
=== 유한소수와 무한소수 ===
'''유한소수(有限小數, finite decimal, terminating decimal)'''는 소수점 아래 0이 아닌 숫자가 유한하게 나타나는 소수이다.<ref>2009년 개정 교육과정 수학 3–1 교사용 지도서, 370쪽.</ref>
* 예: 0.1, 0.2, 0.34, 1.234

유한소수는 분모가 10의 거듭제곱인 분수로 생각할 수 있다. 예를 들어 1.234는 <math>\tfrac{1234}{1000}</math>로 생각할 수 있다. 따라서 유한소수는 반드시 [[유리수]]이며, [[기약분수]]로 나타내었을 때 분모의 소인수는 2 및 5밖에 존재하지 않는다.<ref>증명은 [[분수 (수학)]]을 참조.</ref>

반대말은 '''무한소수(無限小數, infinite decimal)'''이며, 소수점 아래 0이 아닌 숫자가 무한히 계속되는 소수를 말한다.<ref>2009년 개정 교육과정 수학 3–1 교사용 지도서, 370쪽.</ref>

무한소수는 유한소수와 달리 분모가 (유한한) 10의 거듭제곱인 분수로 생각하는 것은 불가능하며, 무한급수로 생각해야 한다. 즉 표기로 생각할 때는 무한급수로 생각하게 되며, 수로 생각할 때는—당연히—급수의 합으로 생각하게 된다.

무한소수는 순환하는 무한소수(순환소수)와 순환하지 않는 무한소수(비순환무한소수)로 나뉜다.

=== 순환소수(순환하는 무한소수) ===
'''순환소수(循環小數, recurring decimal, repeating decimal, periodic decimal)'''는 소수점 아래의 어느 자리 이후로는 한 개 또는 여러 개의 숫자가 반복하여 나타나는 무한소수이다.<ref>2009년 개정 교육과정 수학 3–1 교사용 지도서, 370쪽.</ref>
* 예: 0.333……, 0.1232323……, 0.027027027……

이 반복하는 숫자들을 순환마디(period, repetend)라고 하는데, 순환소수를 간략하게 표현하기 위하여<ref>수를 적을 때마다 소수점 아래의 숫자를 전부 늘어놓을 수 없기 때문이기도 하고, 어디가 순환마디인지 명확하게 하기 위함이기도 하다.</ref> 순환마디 위에 점을 찍거나 줄을 그어서 나타내기도 한다.
* 예
** 0.333……<math> = 0.\dot{3} = 0.\overline{3}</math>
** 0.1232323……<math> = 0.1\dot{2}\dot{3} = 0.1\overline{23}</math>
** 0.027027027……<math> = 0.\dot{0}2\dot{7} = 0.\overline{027}</math>

순환소수의 소수 첫째 자리부터 순환마디가 시작되는 경우 순순환소수(純循環小數)라고 하고, 소수 둘째 자리 이하에서 순환마디가 시작되는 순환소수를 혼순환소수(混循環小數)라고 한다.<ref>2009년 개정 교육과정 수학 3–1 교사용 지도서, 370쪽.</ref> 참고로, 순환마디가 아닌 부분은 전주기(preperiod)라고 부른다.
* 순순환소수의 예: <math>0.\overline{3}</math>, <math>0.\overline{027}</math>
* 혼순환소수의 예: <math>0.1\overline{23}</math>

무한소수 중에서 순환소수에 집중하는 이유는 모든 순환소수는 유리수이기 때문이다. 따라서 중학교 교과서에서는 순환소수를 분수로 나타내는 방법을 가르친다. 자세한 내용은 [[#4|다음 장]] 참조. 순환소수는 [[기약분수]]로 나타내어도 분모에 2 또는 5 외의 소인수가 있게 된다.

반대로 모든 유리수는 소수로 나타내면 유한소수 또는 순환소수가 된다는 것도 증명이 가능하다. 이는 자명하지는 않은데, 교과서에서는 이를 증명 없이 서술한 뒤에 나중에 무리수의 개념을 비순환무한소수로 잡음으로써 이 문제를 아예 회피해 버린다.
혹시 증명을 보고 싶은 사람은 [[분수 (수학)]] 항목을 참조하자.

=== 비순환무한소수(순환하지 않는 무한소수) ===
비순환무한소수(非循環無限小數, nonterminating decimal, nonrepeating decimal)는 유한하지도 않고 순환하지도 않는 소수이다.<ref>2009년 개정 교육과정 수학 3–1 교사용 지도서, 371쪽.</ref>

참고로 이게 규칙성이 없다는 뜻은 아니다. 0.12345678910111213…… 같은 경우는 규칙성이 눈에 띄지만 순환하지 않는다.<ref>그런데 사실 진짜로 순환하지 않음을 증명하기는 대단히 어려우니 시도하지 말길 바란다.</ref>

비순환무한소수는 전부 [[무리수]]이며, 대표적인 예로 [[원주율]] <math>\pi</math>, [[자연상수]] <math>e</math>, 그리고 완전제곱수가 아닌 수의 제곱근(예를 들어 <math>\sqrt{2}</math>)이 있다. 이는 유리수를 소수로 나타내면 유한소수 또는 순환소수가 되며 또한 모든 유한소수 및 순환소수는 유리수이기 때문이다. 교과서에서는 무리수의 개념을 비순환무한소수로 잡음으로써<ref>정확하게는 “어떤 수를 소수로 나타내었을 때 순환하지 않는 무한소수로 나타내어지는 수를 무리수라 한다”는 식으로 정의한다.</ref> 이를 증명하지 않을 뿐더러 이 문제를 아예 회피해 버린다.

== 순환소수를 분수로 나타내는 방법 ==
순환소수를 분수로 나타내기 위해서는 먼저 그 값을 알아야 한다. 즉 [[무한급수]]의 합을 구해야 하는데, 사실 이 과정에서 분수로 구해지므로 별도로 ‘분수로 나타내는 방법’을 알 필요는 전혀 없다. 즉 예를 들어 순환소수 <math>1.\overline{23}</math>은 사실 <math>1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{23}{100^n}</math>이고, 무한등비급수의 합을 이용하면 <math>1+\tfrac{23/100}{1-1/100}=1+\tfrac{23}{99}=\tfrac{122}{99}</math>를 얻는다.

중학교에서는 무한급수를 아직 모르므로 다음과 같은 약간의 편법<ref>이게 ‘편법’인 이유는, 이 급수가 수렴하지 않는 경우에는 이 논증은 아무 의미가 없게 되어 버리기 때문이다. 즉 이 논증은 급수가 수렴하는 경우에만 맞고, 수렴하는지를 모르면 함부로 이렇게 할 수 없다.</ref>을 동원한다.
:<math>\begin{array}{rr}
x = & \!\!\!\!1.2323\cdots \\
100x = & \!\!\!\!123.2323\cdots
\end{array}</math>.<br />두 식을 빼면, <math>99x=122,\,x=\tfrac{122}{99}</math>

아예 이런 계산 자체가 들어가지 않는 편법도 존재한다.
#분모에는 소수점 아래에서 순환하는 숫자 개수만큼 9를, 순환하지 않는 숫자 개수만큼 0을 적어넣는다. 달리 말하면 순환마디의 길이만큼 9를, 그 앞의 소수 자릿수만큼 0을 적는다.
#분자에는 소수점을 무시하고, “전체수 − 순환하지 않는 부분”을 분자에 넣는다.
<math>1.2\overline{34}</math>를 예시하면, 소수점 아래에 순환하는 숫자(34)가 2개, 순환하지 않는 숫자(2)가 1개이므로 분모에 990를 넣고, 분자에는 1234−12=1222를 넣어 <math>\tfrac{1222}{990}</math>가 답이 된다.

== 다른 진법 ==
일반적으로 소수라 하면 10진법에서의 소수만을 생각하지만, 다른 진법에서도 소수 표기를 생각할 수 있다.

10진법에서의 소수 <math>a_0 . a_1 a_2 a_3 \cdots</math> (<math>a_0\in\mathbb{Z}</math>(10진법), <math>a_i\in\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\} \left(i\in\mathbb{N}\right)</math>)은 사실 다음과 같은 무한급수이다.
:<math>a_0+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{a_i}{10^i}</math>

따라서 1보다 큰 정수 ''n''에 대하여 ''n''진법에서의 소수를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>a_0 . a_1 a_2 a_3 \cdots = a_0+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{a_i}{n^i}</math> (<math>a_0\in\mathbb{Z}</math>(''n''진법), <math>a_i\in\left\{0,1,\cdots,n-1\right\} \left(i\in\mathbb{N}\right)</math>)

예시로, 2진법의 소수 1.011<sub>(2)</sub>은 10진법으로는 <math>1.011_{\left(2\right)}=1+\tfrac{0}{2}+\tfrac{1}{2^2}+\tfrac{1}{2^3}=1+0.25+0.125=1.375</math>와 같은 값을 갖게 된다.

또, 3진법의 소수 0.1<sub>(3)</sub>은 10진법으로는 <math>0.1_{\left(3\right)}=0+\tfrac{1}{3}=0.333\cdots</math>와 같이 무한소수가 된다. 반대로 10진법의 소수 0.1은 3진법으로는 <math>0.\overline{0022}</math>가 된다. 즉 같은 유리수라도 진법에 따라 유한소수가 되기도 하고 순환소수가 되기도 한다. 정확히 말하면, 어떤 소수를 10진법 [[기약분수]]로 나타냈을 때, 분모의 모든 소인수가 기수(base, 그러니까 ''n''진법의 경우는 ''n'')를 나눈다면 유한소수이고, 그렇지 않다면 순환소수이다. 증명은 [[분수 (수학)]]을 참조하자.

== 소수 표기의 [[존재성과 유일성]] ==
[[분수 (수학)|분수]] 1/2를 10진법 소수로 바꾸면 0.5가 되며, 특수한 경우<ref>0.499...</ref>를 제외하면 유일한 표현이라는 사실은 누구나 다 직관적으로 알고 있다. 이러한 소수 표기의 존재성은 유한소수일 때는 소수 표기 자체의 정의에 의해서 보장되지만,<ref>분자를 분모로 나누는 유한한 과정.</ref> 유일성은 당연한 사실이 아니다. 게다가 무한소수로 넘어간다면, 그 "무한한 소수 표기"의 존재성 자체를 직관적으로 알기가 힘들어 지게 된다. 그렇기 때문에 소수 표기, 특히 무한소수의 표기에 대한 좀 더 엄밀하고 직관적인 정의가 필요하게 되며, 이를 해결하기 위해 [[분수 (수학)|분수]]의 성질을 이용할 수 있다.

[[분수 (수학)|분수]] 항목에 나와있듯이, 0에서 1사이의 실수는 분모가 <math>b</math>의 거듭제곱인 분수의 합으로 유일하게 나타낼 수 있음이 밝혀져 있다. 이 때, 주어진 실수의 <math>b</math>진법 소수 표현을 분자의 연속적인 나열로 정의한다면<ref>정수는 그대로 놔두고, 소수점 <math>n</math>자리는 분모가 <math>b^n</math>인 분수의 분자.</ref> 유한소수와 무한소수, 두 경우에 관계없이 소수 표현이 명확하게 정의된다. 더욱이, 해당 항목의 증명을 보면 알겠지만, 이 정의는 분자를 구하는 방법까지 제시하기에 단순한 추상적 개념뿐만 아니라 임의의 [[기수법]]의 소수 표현의 구체적인 [[알고리즘]]도 같이 제시함을 알 수 있다. 이제 문제가 되는 것은 유일성인데, 분수의 합이 '''유일하게''' 나타낼 수 있다는 사실에서 소수 표현의 유일성도 같이 증명이 된다.

== 0.999...=1 ==
수학계의 영원한 떡밥(?) 결론부터 말하면, '''수학적으로 0.999...=1은 참이다'''. 이걸 잘 이해 못하는 이유는 [[무한]]이라는 개념을 직관적으로 이해하기 어렵기 때문. 이에 대한 [[병림픽]]을 보고 싶으면 [[디시위키:0.999....]]를 참조하자. 수학적으로 엄밀한 증명을 원한다면 [[단조 수렴 정리]]의 활용 파트를 참고.

{{각주}}
{{수}}
[[분류:산술]]