로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! AM-GM == 개요 == [[코시-슈바르츠 부등식]]과 함께 [[절대부등식]]의 가장 대표적인 예로, 중학교 때 부터 쓰이는 부등식. 줄여서 "산술기하"라고만 부르기도 한다. 영어로도 역시 줄여서 AM-GM이라 부르며, 이 역시 Arithmetic Mean-Geometric Mean을 줄인 말이다. 학교에선 변수가 두 개 일때의 경우를 증명하고, 일반적인 경우는 배우기만 하고 증명은 하지 않는다. == 진술 == 음이 아닌 임의의 두 실수 <math>x,y</math>가 주어졌다고 하자. <math>x,y</math>의 [[산술평균]] <math>\frac{x+y}{2}</math>과 [[기하평균]] <math>\sqrt{xy}</math> 사이에 다음 부등식이 성립한다. : <math>\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}</math> 등호는 <math>x=y</math>일 때 성립한다. === 증명 === : <math>\begin{align} \left(\frac{x+y}{2}\right)^2-(\sqrt{xy})^2&=\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{2}+\frac{y^2}{4}\\ &=\left(\frac{x-y}{2}\right)^2\ge 0 \end{align}</math> 인데, <math>\frac{x+y}{2}</math>와 <math>\sqrt{xy}</math>는 모두 0 이상이므로, : <math>\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}\ge 0</math> 이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다. == 일반화 == 음이 아닌 ''n''개의 실수 <math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math>에 대해 다음 부등식이 성립한다. : <math>\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}</math> 등호는 <math>x_1=x_2=\cdots=x_n</math>일 때 성립한다. === 증명 === [[젠센 부등식]]을 활용한다. 이 외에도 [[수학적 귀납법]]을 사용한 증명도 있다. 자연로그 함수는 오목함수이므로, 젠센 부등식에 의해 <math>\ln\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)\geq\frac{1}{n}\left(\ln\left(x_1\right)+\ln\left(x_2\right)+\cdots+\ln\left(x_n\right)\right)=\ln\left(x_1x_2\cdots x_n\right)^\left(\frac{1}{n}\right)=\ln\left(\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\right)</math>이다. 또한, 자연로그 함수는 강증가 함수이므로, <math>\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}</math>이 성립한다. == 활용 == 어떤 식의 최솟값을 구하는데 많이 쓰인다. 예시를 들어보자. : <math>x</math>가 양수일 때, <math>x+\frac{1}{x}</math>의 최솟값을 구하여라. 풀이는 산술기하를 쓰면 된다. :산술-기하평균 부등식에 의하여, <math>x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2</math>. 등호는 <math>x=\frac{1}{x}</math>, 즉 <math>x=1</math>일 때 성립. == 관련 항목 == *[[절대부등식]] *[[평균 부등식]] *[[코시-슈바르츠 부등식]] [[분류:부등식]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț