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Quadrilateral<ref>어원을 살펴보면, Quad: 4, lateral: 변의, 라서 변이 네 개인 도형을 말한다. 참고로 Square는 정사각형만을 의미하므로 Square를 사각형이라 생각하면 곤란하다.</ref> == 개요 == [[삼각형]]이 도형을 처음 배우는 초등학교 때 부터 대학교 때까지 쭉 직접적으로 나와 괴롭힌다면, 사각형은 뒤에서 지원사격을 해주는 그런 존재. 여러 가지 성질을 자세하게 배우는 삼각형에 비해 사각형은 그렇게 많은 성질을 배우지 않는다. 하지만 [[KMO]]같은 수학 경시대회를 준비한다면 "사각형에 이런 성질이 있어?"싶은 사각형만의 많은 성질들을 배우게 될 것이다. 기호로는 <math>\square</math>가 있지만 <math>\triangle</math>에 비해 거의 쓰이지 않는다. <del>콩라인. 그러고 보니 4=2x2네?</del> == 용어 == *대변 (대각): 한 변(각)을 기준으로 마주보고 있는 변(각). 삼각형과의 차이점은, 각에 대한 대변(변에 대한 대각)은 존재하지 않는다는 것이다. *[[사다리꼴]]: 한 쌍의 대변이 평행한 사각형. *등변사다리꼴: 사다리꼴의 특수한 경우로, 평행하지 않은 두 변의 길이가 같은 사다리꼴을 말한다. *[[평행사변형]]: 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형. *[[마름모]]: 네 변의 길이가 같은 사각형. *[[직사각형]]: 네 각의 크기가 모두 같은 사각형. *정사각형: 네 변의 길이와 네 각의 크기가 모두 각각 같은 사각형.<ref>정삼각형과는 달리 두 조건을 모두 만족해야한다.</ref> *오목사각형: 한 각의 크기가 180도를 넘어가는 사각형. 오목사각형이 아니면 볼록사각형이라 부른다. == 사각형의 성질 == [[사다리꼴]], [[평행사변형]], [[마름모]], [[직사각형]], [[정사각형]]에 대한 성질은 각 항목을 참조하자. === 내접 사각형 === 중학교 때 배우는 원과 사각형의 중요한 성질. 사각형이 원에 내접하기 위한 조건은 아래와 같다. *대각의 크기의 합이 180도이다. *한 외각의 크기가 내대각의 크기와 같다. *[[원주각]]을 만족한다. *[[방멱의 정리]]를 만족한다. *[[톨레미의 정리]]를 만족한다. *네 꼭짓점에 이르는 거리가 같은 점이 존재한다. *네 변의 수직이등분선이 한 점에서 만난다. 위 조건을 만족하면 사각형이 원에 내접하는 이유는 각 항목과 [[공원점]] 항목을 참조하자. 여기서는 증명을 생략한다. === 외접 사각형 === 내접 사각형은 학교에서 자세히 배우지만, 외접 사각형에 대해서는 학교에서 가르쳐주지 않는다. 사실 외접원과 달리 내접원은 조건이 조금 까다롭기 때문. 볼록사각형이 원에 외접하기 위한 조건은 아래와 같다. *두 쌍의 대변의 합이 같다. (듀란드의 문제) *네 변에 이르는 거리가 같은 점이 존재한다. *네 각의 이등분선이 한 점에서 만난다. 두번째 조건은 내접원의 정의이고, 세번째 조건에서 두번째 조건을 유도하기는 매우 쉬우므로 첫번째 조건만 증명한다. ==== 듀란드의 문제 ==== [[파일:사각형 1.png]] 각 <math>A</math>와 <math>D</math>의 이등분선의 교점을 <math>O</math>라 하고, 점 <math>O</math>에서 각 변에 내린 수선의 발을 각각 <math>E,F,G,H</math>라 하자. 그럼 <math>\triangle{AOE}\cong\triangle{AOH}</math> (RHA 합동) 이므로 <math>\overline{OE}=\overline{OH}</math>이고, <math>\overline{AE}=\overline{AH}</math>이다. 비슷하게, <math>\triangle{DOH}\cong\triangle{DOG}</math>이므로 <math>\overline{OH}=\overline{OG}</math>이고 <math>\overline{DH}=\overline{DG}</math>이다. 이제 <math>\overline{OF}>\overline{OE}</math>라 가정하면 <math>\overline{BF}<\overline{BE}</math>이고<ref><math>\overline{BO}</math>를 포함하는 두 직각삼각형에서 [[피타고라스 정리]]를 이용하면 보일 수 있다.</ref> <math>\overline{CF}<\overline{CG}</math>이므로 <math>\overline{AD}+\overline{BC}-\overline{AB}-\overline{CD}=\overline{BE}+\overline{CG}-\overline{BF}-\overline{CF}>0</math>이므로 조건에 모순. 마찬가지로 <math>\overline{OF}<\overline{OE}</math>일 때도 모순이므로 <math>\overline{OF}=\overline{OE}</math>이고, 이는 사각형에 내접하는 원이 있음을 보인다. 수학에 조금 관심이 있는 사람이라면 위 증명에서 예를 들어 어떻게 <math>E</math>가 항상 <math>\overline{AB}</math> 위에 있다고 보장할 수 있느냐 하는 의문이 들 수 있다. 그런데 볼록사각형의 두 쌍의 대변의 길이의 합이 같다면 <math>E</math>가 항상 <math>\overline{AB}</math> 위에 존재함을 보일 수 있다. [[파일:사각형 2.png]] 위 증명에서와 같이 <math>\angle{A}</math>와 <math>\angle{D}</math>의 이등분선의 교점을 <math>O</math>라 하고, 점 <math>O</math>에서 <math>\overline{AB},\,\overline{CD},\,\overline{DA}</math>(혹은 그 연장선)에 내린 수선의 발을 각각 <math>E,G,H</math>라 하자. 그럼 <math>\triangle{AOE}\cong\triangle{AOH},\,\triangle{DOH}\cong\triangle{DOG}</math>(RHA 합동)이다. 따라서 <math>\overline{OE}=\overline{OH}=\overline{OG}</math>이고, 이 길이를 <math>r</math>이라 하자. 이제 <math>\overline{AH}=\overline{AE}=a,\,\overline{DH}=\overline{DG}=b</math>라 하고, <math>\overline{BE}=x,\,\overline{CG}=y</math>는 ‘부호 있는 길이’로 생각하자. 즉, <math>E</math>가 <math>\overline{AB}</math> 위에 있다면 <math>\overline{AB}=a+x</math>로 그렇지 않으면 <math>\overline{AB}=a-x</math>로 나누어 적는 것은 불편하므로, 항상 <math>\overline{AB}=a+x</math>로 적되 <math>E</math>가 <math>\overline{AB}</math> 위에 있다면 <math>x>0</math>으로, 아니라면 <math>x<0</math>으로 이해하자는 것이다. 마찬가지로 <math>\overline{CD}=b+y</math>이고, <math>\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{BC}+\overline{AD}</math>에서 <math>\overline{BC}=x+y</math>임을 알 수 있다.<ref>이 식만 보아도 <math>E</math>와 <math>G</math>가 모두 사각형 밖에 있다면 문제가 발생함을 쉽게 알 수 있다. 따라서 <math>E</math>가 사각형 밖에 있다고 가정하면서 <math>G</math>는 <math>\overline{CD}</math> 위에 있도록 그린 그림이 정당화된다.</ref> 마지막으로 [[피타고라스 정리]]에 의해 <math>\overline{AO}=\sqrt{a^2+r^2},\,\overline{BO}=\sqrt{x^2+r^2},\,\overline{CO}=\sqrt{y^2+r^2}</math>이다. 이제 <math>\angle{ABO}=\alpha,\,\angle{CBO}=\beta</math>라 하고, 이들의 값을 조사해 보자. 볼록사각형이므로 <math>\alpha+\beta=\angle{B}<180^\circ</math>여야 한다. 먼저 <math>\angle{ABO}=\alpha</math>에 관해서는, <math>E</math>는 <math>O</math>에서 내린 수선의 발이라는 점을 이용해 <math>\cos\alpha = x/\sqrt{x^2+r^2}</math>를 얻는다. 다음 <math>\angle{CBO}=\beta</math>를 구하기 위해서는 [[코사인 법칙]]을 사용한다. <math>\triangle{CBO}</math>에서 <math>\left(x+y\right)^2+x^2+r^2-2\left(x+y\right)\sqrt{x^2+r^2}\cos\beta=y^2+r^2</math>이고, 정리하면 <math>x\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\sqrt{x^2+r^2}\cos\beta</math>가 된다. <math>x+y</math>는 길이이므로 0은 아닐 것이고, 따라서 <math>\cos\beta = x/\sqrt{x^2+r^2}</math>를 얻는다. 이제 <math>\cos\alpha = \cos\beta</math>이므로 <math>\alpha = \beta</math>이고, 주어진 사각형은 볼록사각형이므로 <math>\alpha = \beta < 90^\circ</math>여야 한다. 즉, <math>\cos\alpha = \cos\beta = x/\sqrt{x^2+r^2} >0</math>이어야 한다. 따라서 <math>x>0</math>이고 <math>E</math>가 <math>\overline{AB}</math> 위에 있음이 증명되었다. == 관련 항목 == *[[다각형]] *[[원 (도형)]] *[[공원점]] *[[톨레미의 정리]] [[분류:사각형| ]] {{각주}} 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)