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{{학술}} | |||
Bolzano-Weierstrass Theorem | |||
== 개요 == | |||
[[해석학]]을 배울 때 반드시 배우게 되는 매우 중요한 정리. 실해석학에서 [[수열]]에 관련된 문제라면 매우 높은 확률로 사용하게 되는 정리이다. 증명을 위해서는 먼저 폐구간 수렴 정리(Nested Interval Theorem)을 알아야 한다. | |||
== 폐구간 수렴 정리 == | == 폐구간 수렴 정리 == | ||
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모든 [[수열]]이 수렴하는 것은 아니다. 하지만, [[유계]]인 무한 수열은 반드시 수렴하는 [[부분수열]]을 가짐이 알려져 있다. 이를 볼차노-바이어슈트라스 정리라 한다. 증명은 다음과 같다. | 모든 [[수열]]이 수렴하는 것은 아니다. 하지만, [[유계]]인 무한 수열은 반드시 수렴하는 [[부분수열]]을 가짐이 알려져 있다. 이를 볼차노-바이어슈트라스 정리라 한다. 증명은 다음과 같다. | ||
:<math>\left\{a_n\right\}</math>이 유계이므로, 양수 <math>M</math>이 존재해 <math>\left|a_n\right|\leq M,\,\forall n\in\mathbb{N}</math>이다. 따라서 모든 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>a_n\in\left[-M,M\right]</math>이다. 두 폐구간 <math>\left[-M,0\right],\,\left[0,M\right]</math>에 대해, 적어도 한 구간은 무수히 많은 <math>a_n</math>을 포함해야 한다.<ref>만약 그렇지 않으면 <math>\left\{a_n\right\}</math>는 유한 수열이다.</ref>. 그 구간을 <math>I_0</math>이라 하자. 마찬가지로 <math>I_0</math>을 동일한 길이의 두 폐구간으로 나눈다. 그럼 적어도 한 구간은 무한한 <math>a_n</math>을 포함한다. 이를 <math>I_1</math>이라 하자. 이를 계속 반복하여 <math>I_0,I_1,I_2,\cdots</math>를 얻는다. 그럼 <math>I_0\supset I_1\supset I_2\supset\cdots</math>이고, <math>I_n</math>의 길이는 <math>\frac{M}{2^n}</math>이다. <math>\lim_{n\to\infty}\frac{M}{2^n}=0</math>이므로, 폐구간 수렴정리에 의해 모든 구간에 속하는 유일한 한 점 <math>A</math>가 존재한다. 이제 <math>a_{n_1}\in I_1</math>을 고르고, <math>a_{n_2}\in I_2,\,n_2> n_1</math>을 고르고, <math>a_{n_3}\in I_3,\,n_3> n_2</math>을 고르고, 이를 계속 반복한다.<ref>이게 가능한 이유는 <math>\left\{a_n\right\}</math>이 무한 수열이기 때문이다.</ref> 그럼 <math>\left\{a_{n_k}\right\}</math>는 <math>\left\{a_n\right\}</math>의 부분수열이고, <math>a_{n_k}</math>와 <math>A</math>는 <math>I_k</math>에 포함되어 있다. 따라서 <math>\left|a_{n_k}-A\right|<\frac{M}{2^k}</math>이고, 이는 곧 <math>\lim_{k\to\infty}a_{n_k}=A</math>임을 의미한다. | :<math>\left\{a_n\right\}</math>이 유계이므로, 양수 <math>M</math>이 존재해 <math>\left|a_n\right|\leq M,\,\forall n\in\mathbb{N}</math>이다. 따라서 모든 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>a_n\in\left[-M,M\right]</math>이다. 두 폐구간 <math>\left[-M,0\right],\,\left[0,M\right]</math>에 대해, 적어도 한 구간은 무수히 많은 <math>a_n</math>을 포함해야 한다.<ref>만약 그렇지 않으면 <math>\left\{a_n\right\}</math>는 유한 수열이다.</ref>. 그 구간을 <math>I_0</math>이라 하자. 마찬가지로 <math>I_0</math>을 동일한 길이의 두 폐구간으로 나눈다. 그럼 적어도 한 구간은 무한한 <math>a_n</math>을 포함한다. 이를 <math>I_1</math>이라 하자. 이를 계속 반복하여 <math>I_0,I_1,I_2,\cdots</math>를 얻는다. 그럼 <math>I_0\supset I_1\supset I_2\supset\cdots</math>이고, <math>I_n</math>의 길이는 <math>\frac{M}{2^n}</math>이다. <math>\lim_{n\to\infty}\frac{M}{2^n}=0</math>이므로, 폐구간 수렴정리에 의해 모든 구간에 속하는 유일한 한 점 <math>A</math>가 존재한다. 이제 <math>a_{n_1}\in I_1</math>을 고르고, <math>a_{n_2}\in I_2,\,n_2> n_1</math>을 고르고, <math>a_{n_3}\in I_3,\,n_3> n_2</math>을 고르고, 이를 계속 반복한다.<ref>이게 가능한 이유는 <math>\left\{a_n\right\}</math>이 무한 수열이기 때문이다.</ref> 그럼 <math>\left\{a_{n_k}\right\}</math>는 <math>\left\{a_n\right\}</math>의 부분수열이고, <math>a_{n_k}</math>와 <math>A</math>는 <math>I_k</math>에 포함되어 있다. 따라서 <math>\left|a_{n_k}-A\right|<\frac{M}{2^k}</math>이고, 이는 곧 <math>\lim_{k\to\infty}a_{n_k}=A</math>임을 의미한다. | ||
== 일반화 == | == 일반화 == | ||
유한한 차원의 유클리드 공간인 <math>\mathbb{R}^n</math>에 대해 확장이 가능하다. 명제도 거의 다른 것이 없다. | 유한한 차원의 유클리드 공간인 <math>\mathbb{R}^n</math>에 대해 확장이 가능하다. 명제도 거의 다른 것이 없다. | ||
:<math>\mathbb{R}^n</math> 내의 유계인 수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다. | :<math>\mathbb{R}^n</math> 내의 유계인 수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다. | ||
== 활용 == | == 활용 == | ||
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{{각주}} | {{각주}} | ||
[[분류:해석학]] | [[분류:해석학]] | ||