로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! Nesbitt's Inequality == 개요 == [[캐나다]]의 수학자 세실 J. 네스빗의 이름을 딴 [[부등식]]이자, [[셔피로 부등식]]의 특수한 경우. 실용적인 측면은 하나도 없는 부등식이지만, 이 부등식을 증명할 때 쓰이는 여러 가지 테크닉들은 부등식 문제 풀이의 기초가 되기 때문에 [[수학 경시대회]]에서 꼭 짚고 넘어가게 된다. == 명제 == 양의 [[실수]] <math>a,b,c</math>에 대해서 :<math>\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}</math> 가 성립한다. 등호 조건은 <math>a=b=c</math>. == 증명 == === AM-GM === 모두의 친구(?) [[산술-기하평균 부등식]]을 이용하여 증명할 수 있다. 우선 <math>x=a+b,y=b+c,z=c+a</math>로 치환하고, <math>x^2z,z^2x,y^z,z^2y,x^2y,y^2x</math>에 대하여 AM-GM을 쓴다. :<math>\frac{\left(x^2z+z^2x\right)+\left(y^z+z^2y\right)+\left(x^2y+y^2x\right)}{6}\geq\sqrt[6]{x^6y^6z^6}=xyz</math> 이제 양변을 <math>\frac{xyz}{6}</math>로 나눠주자. :<math>\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+y}{z}\geq6</math> <math>x,y,z</math>에 원래 값을 넣고 다시 정리하면 원하는 부등식이 튀어나온다. 등호 조건은 AM-GM의 등호 조건과 같다. 즉, <math>x^2z=z^2x=y^2z=z^2y=x^2y=y^2x</math>. 정리하면 <math>x=y=z</math>이다. === AM-HM === 산술-기하를 이용한 증명이 약간 인위적인 느낌이 든다면, 산술-조화 평균부등식을 사용하여 증명할 수 있다. 사실 이 증명이 간단하고 알기 쉽기 때문에 처음 배울 때는 보통 이 증명을 쓸 것이다. 일단 <math>a+b,b+c,c+a</math>에 대해 AM-HM을 쓰자. :<math>\frac{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)}{3}\geq\frac{3}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}}</math> 이 식을 정리해주면 원하는 부등식이 나온다. {{ㅊ|참 쉽죠?}} 등호 조건은 AM-HM과 같으므로, <math>a+b=b+c=c+a</math>여야 한다. 즉, <math>a=b=c</math>. === 코시-슈바르츠 === 조화평균 부등식이 익숙하지 않다면 또다른 모두의 친구인 C-S를 쓸 수 있다. 두 [[벡터]] <math>\vec{x}=\left(\sqrt{a+b},\sqrt{b+c},\sqrt{c+a}\right),\vec{y}=\left(\frac{1}{\sqrt{a+b}},\frac{1}{\sqrt{b+c}},\frac{1}{\sqrt{c+a}}\right)</math>를 정의하고, 이 두 벡터에 대해 코시-슈바르츠 부등식을 적용하자. :<math>\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\geq9</math> 여기서 부터는 AM-HM 증명과 똑같다. 식을 정리하기만 하면 끝. 등호 조건은 코시-슈바르츠 부등식과 같으므로, <math>a+b=b+c=c+a</math>여야 한다. 즉, <math>a=b=c</math>. === 재배열 === 부등식을 조금 공부했다면, 이렇게 문자가 순환되는 형식의 부등식을 풀기위한 강한 도구인 [[재배열 부등식]]을 쓸 것이다. 우선, 일반성을 잃지 않고 <math>a\geq b\geq c</math>라 가정하자. 그럼, <math>\frac{1}{b+c}\geq\frac{1}{c+a}\geq\frac{1}{a+b}</math>이다. 그럼 두 [[수열]] <math>\vec{x}=\left(a,b,c\right),\vec{y}=\left(\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}\right)</math>의 스칼라 곱의 최댓값은 저 순서로 배열되어 있을 때이다. 이제, <math>\vec{y_1},\vec{y_2}</math>를 <math>\vec{y}</math>에서 각각 1, 2칸씩 미룬 수열이라고 가정하자. 그럼, [[재배열 부등식]]에 의해, <math>\vec{x}\cdot\vec{y}\geq\vec{x}\cdot\vec{y_1},\vec{x}\cdot\vec{y}\geq\vec{x}\cdot\vec{y_2}</math>이다. 이제 저 두 부등식을 변끼리 더하고 정리하면 된다. 등호 성립 조건은 재배열 부등식과 같으므로, <math>a=b=c</math>이고 <math>\frac{1}{b+c}=\frac{1}{c+a}=\frac{1}{a+b}</math>여야 한다. 즉, <math>a=b=c</math>. === 그 외 방법들 === AM-GM을 2번 사용해서 증명할 수도 있고, [[가중치 평균 부등식]], [[뮤어헤드 부등식]]을 사용하는 방법도 존재한다. 매우 간단한 부등식이다보니 증명하는 방법도 천차만별. 하지만 각각의 증명 방법들은 부등식 문제를 푸는 스킬의 기반이 되므로 경시대회를 준비한다면 잘 알아놔야 한다. [[분류:부등식]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ㅊ (원본 보기) (준보호됨)틀:취소선 (원본 보기) (준보호됨)