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'''어떤 object 안의 흐름을 group을 통해서 관찰한다.'''<ref>군의 작용(group action)이라고 부른다.</ref> | '''어떤 object 안의 흐름을 group을 통해서 관찰한다.'''<ref>군의 작용(group action)이라고 부른다.</ref> | ||
군론의 기본 철학은 이것이며, 군이라고 | 군론의 기본 철학은 이것이며, 군이라고 이름붙이는 것들은 대부분 이런 철학을 가진다. 이게 무슨 소리냐면, 예를 들어 1, 2, 3, 4, 5 이 숫자 다섯 개를 뒤섞는 방법, 즉 1, 2, 3, 4, 5를 2, 1, 3, 5, 4로 섞는 것 등등을 모두 모은 집합을 <math>S_5</math>라고 하자. 이제 <math>S_5</math> 위에 연산을, 하나는 1, 2, 3, 4, 5를 2, 1, 3, 4, 5로 섞는 방법을 <math>x</math>로 하고, 1, 2, 3, 4, 5를 3, 2, 4, 5, 1로 섞는 방법을 <math>y</math>라고 하자. <math>xy</math>는 1, 2, 3, 4, 5를 3, 2, 4, 5, 1에서 앞의 두 개를 바꾼 2, 3, 4, 5, 1로 섞는 방법이라는 식으로 정의하면, <math>S_5</math>는 이 연산에 관해 군을 이룬다. 좀 더 정확히는 <math>S_5</math>는 <math>S=\{1, 2, 3, 4, 5 \}</math>일 때 <math>S</math>에서 <math>S</math>로 가는 모든 전단사함수의 집합이고 연산은 함수의 합성으로 정의한 것이다. | ||
이제 <math>S_5</math>의 원소 중 하나인 1, 2, 3, 4, 5를 2, 1, 3, 4, 5로 섞는 방법 <math>x</math>로 1, 1, 2, 2, 2를 섞는다고 해보자. 그렇다면 아무런 변화도 없을 것이다. 앞의 두 개를 바꾸는 것인데 앞의 두 개는 모두 1이니 말이다. 이를 일반화하여 <math>x</math>라는 방법으로 다섯 개의 숫자를 섞은 결과 변화가 없는 것과 처음 두 개의 숫자가 같다는 것은 동치임을 증명할 수 있다. 그렇다면 우리는 어떤 다섯 개의 숫자가 있을 때 직접 첫 두 개의 숫자를 확인하는 대신, 그 다섯 개의 숫자를 <math>x</math>라는 방법으로 섞어 봐서 변화가 없는지 아닌지로 첫 두 개의 숫자가 같은지 아닌지를 확인할 수 있다. 이처럼 숫자 다섯 개의 대칭성을 <math>S_5</math>를 통해서 볼 수 있다. | 이제 <math>S_5</math>의 원소 중 하나인 1, 2, 3, 4, 5를 2, 1, 3, 4, 5로 섞는 방법 <math>x</math>로 1, 1, 2, 2, 2를 섞는다고 해보자. 그렇다면 아무런 변화도 없을 것이다. 앞의 두 개를 바꾸는 것인데 앞의 두 개는 모두 1이니 말이다. 이를 일반화하여 <math>x</math>라는 방법으로 다섯 개의 숫자를 섞은 결과 변화가 없는 것과 처음 두 개의 숫자가 같다는 것은 동치임을 증명할 수 있다. 그렇다면 우리는 어떤 다섯 개의 숫자가 있을 때 직접 첫 두 개의 숫자를 확인하는 대신, 그 다섯 개의 숫자를 <math>x</math>라는 방법으로 섞어 봐서 변화가 없는지 아닌지로 첫 두 개의 숫자가 같은지 아닌지를 확인할 수 있다. 이처럼 숫자 다섯 개의 대칭성을 <math>S_5</math>를 통해서 볼 수 있다. |