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80번째 줄: | 80번째 줄: | ||
== 군의 종류 == | == 군의 종류 == | ||
<math>G</math>가 군일 때, | <math>G</math>가 군일 때, | ||
* <math>G</math>가 ''' | * <math>G</math>가 '''아벨군(abelian group)'''<ref>수학자 [[닐스 헨리크 아벨|아벨]]의 이름에서 왔는데, 대문자로 적지 않는 쪽이 관습이다. 그만큼 아벨이 많이 사용된다는 이야기이고, 상당히 영광스러운 일이다. </ref>/'''가환군(commutative group)'''이라는 것은 교환법칙이 성립하는 것이다. 그러니까 모든 <math>x, y \in G</math>에 대해서 <math>xy=yx</math>가 성립한다. | ||
** 아벨군의 예: 위 군의 예 중 덧셈에 관해 군을 이루는 것 전부 및 아래 순환군. | ** 아벨군의 예: 위 군의 예 중 덧셈에 관해 군을 이루는 것 전부 및 아래 순환군. | ||
* <math>G</math>가 ''' | * <math>G</math>가 '''순환군(cyclic group)'''이라는 것은 적당한 <math>a\in G</math>가 있어서 <math>\langle a \rangle=G</math>인 것이다. 이는 모든 <math> x\in G</math>에 대해 적당한 정수 ''n''이 있어서 <math> x=a^n </math>꼴로 표현되는 것과 동치이다. 이때 <math>a</math>를 <math>G</math>의 생성자(generator)라고 한다. 순환군은 가장 간단한 형태의 군이고, 모든 순환군은 아벨군이다.<ref>증명: <math>x,y\in G</math>이면 적당한 정수 <math>n,m</math>이 있어서 <math>x=a^n</math>, <math>y=a^m</math>이다. 이제 <math>xy=a^{n} a^{m}=a^{n+m}=a^{m+n}=a^{m} a^{n}=yx </math>.</ref> | ||
** 순환군의 예: 자명군 <math> \{0 \} </math>, 정수군 <math>( \mathbb Z , + )</math> , 잉여군 <math>(\mathbb Z/n \mathbb Z, +)</math>. 사실 모든 순환군은 이들 중 어느 하나와 동형(isomorphic)이다. | ** 순환군의 예: 자명군 <math> \{0 \} </math>, 정수군 <math>( \mathbb Z , + )</math> , 잉여군 <math>(\mathbb Z/n \mathbb Z, +)</math>. 사실 모든 순환군은 이들 중 어느 하나와 동형(isomorphic)이다. | ||
* <math>G</math>가 '''단순군(simple group)'''이라는 것은 <math>G</math>의 정규부분군이 자기자신 <math>G</math>와 자명군 <math>\{ e \}</math>밖에 없는 것이다. | * <math>G</math>가 '''단순군(simple group)'''이라는 것은 <math>G</math>의 정규부분군이 자기자신 <math>G</math>와 자명군 <math>\{ e \}</math>밖에 없는 것이다. | ||
* <math>G</math>가 [[소수]] <math>p</math>에 대해 '''<math>p</math>군(<math>p</math>‐group)'''이라는 것은, <math>G</math>의 모든 원소의 위수가 <math>p</math>의 양의 거듭제곱인 것이다. | * <math>G</math>가 [[소수]] <math>p</math>에 대해 '''<math>p</math>군(<math>p</math>‐group)'''이라는 것은, <math>G</math>의 모든 원소의 위수가 <math>p</math>의 양의 거듭제곱인 것이다. | ||
* <math>G</math>가 ''' | * <math>G</math>가 '''가해군(solvable group)'''이라는 것은 적당한 <math>G</math>의 부분군들 <math>\{e \}=H_0\trianglelefteq H_1\trianglelefteq\dots\trianglelefteq H_n=G</math>가 있어서 <math>H_i/H_{i-1}</math> (<math>i=1, \dots, n</math>)가 모두 아벨군인 것이다. | ||
또, <math>G</math>의 크기 <math>|G|</math>는 <math>G</math>의 '''위수(order)'''라고 하는데, <math>G</math>의 위수가 유한하면 <math>G</math>를 유한군(finite group), 무한하면 <math>G</math>를 무한군(infinite group)이라고 부른다. | 또, <math>G</math>의 크기 <math>|G|</math>는 <math>G</math>의 '''위수(order)'''라고 하는데, <math>G</math>의 위수가 유한하면 <math>G</math>를 유한군(finite group), 무한하면 <math>G</math>를 무한군(infinite group)이라고 부른다. |