로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! == 정의 == 좌표공간의 부분집합 <math>A</math>와 <math>B</math>가 있을 때 각 자연수 n에 대하여 함수 <math>f_n:A\to B</math>이 정의되어있다고 하자. 이때, 각 함수를 항으로 가지는 수열 <math>(f_n)</math>을 함수열이라고 한다. 균등수렴은 함수열의 수렴을 정의하는 방법으로, 임의의 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 자연수 <math>N</math>이 존재해 임의의 <math>x\in A</math>와 임의의 자연수 <math>n > N</math>에 대해 <math>\|f_n(x) - f(x)\| < \varepsilon</math>이면 <math>(f_n)</math>이 <math>A</math>에서 <math>f</math>에 '''고른수렴(uniformly converge)'''한다고 한다. 고른수렴은 '평등수렴', '균등수렴', '고르게 수렴' 등의 이름으로도 불린다. 함수열 <math>(f_n)</math>이 <math>A</math>에서 <math>f</math>로 고른수렴하지 않을 필요충분조건은 <math>\varepsilon > 0</math>이 존재해 임의의 자연수 <math>k</math>에 대해 점열 <math>(x_k)</math>와 수열 <math>(n_k)</math>가 존재해 <math>|f_{n_k}(x_k)-f(x_k)| \ge \varepsilon </math>인 것이다. [[고른노름]] : <math>\|f\|_A=\sup\{|f(x)|:x\in A\}</math> 을 이용해 함수열이 고른수렴할 필요충분조건을 구할 수 있다. 함수열 <math>(f_n)</math>이 <math>A</math>에서 <math>f</math>로 고른수렴할 필요충분조건은 <math>\lim_{n\to\infty}\|f_n - f\|_A=0</math>인 것이다. == 점별수렴과의 비교 == 함수열 <math>\left( f_n \right)</math>의 수렴을 가장 직관적이고 자연스럽게 정의하는 방법 중 하나는 정의역의 각 점 <math>x_0</math>에 대해서 수열 <math>\left( f_n(x_0) \right)</math>의 수렴성을 따져보는 것이다. 이 아이디어를 수학적으로 옮긴 것이 점별수렴(pointwise converge)이라는 개념이다. 정의역 <math>X</math>의 각 점 <math>x_0</math>에 대하여 <math>\lim_{n \to \infty}f_n(x_0)</math>가 존재할 때, 함수열 <math>\left( f_n \right)</math>이 점별극한함수 <math>f(x) = \lim_{n \to \infty}f_n(x_0)</math>로 점별수렴(pointwise converge)한다고 정의한다. 이 정의는 직관적으로 이해하기 쉽다는 장점이 있지만, 함수열의 각 함수 <math>f_n</math>이 가지는 좋은 성질을 점별극한함수 <math>f</math>가 가진다고 보장하지 못한다는 치명적인 단점이 있다. 그러한 성질에는 대표적으로 연속성, 리만적분가능성 등이 있다. 구체적으로 말하자면, 함수열의 각 함수 <math>f_n</math>이 연속함수이더라도 그 점별극한함수 <math>f</math>는 연속함수가 아닐 수 있다. 마찬가지로, 함수열의 각 함수가 리만적분가능하더라도 그 점별극한함수는 리만적분이 불가능할 수 있다. 위 두 명제에 대한 예시는 아래 예시 항목을 참고하자. 이러한 단점을 보완하기 위해 만들어진 정의가 이 문서의 주제인 고른수렴이다. 함수열 <math>\left( f_n \right)</math>이 함수 <math>f</math>로 고른수렴한다고 하면, 함수열의 각 함수 <math>f_n</math>이 가지는 연속성, 리만적분가능성 등의 성질을 함수 <math>f</math>도 가지고 있다고 보장할 수 있다. 함수열의 수렴을 정의하는 이 두 가지 방법의 근본적인 차이점은 자연수 <math>N</math>이 어떤 변수에 의존하는지에 있다. 함수열 <math>\left( f_n \right)</math>이 함수 <math>f</math>로 점별수렴할 때와 고른수렴할 때의 정의를 논리 기호를 사용하여 다시 써보자. 점별수렴 : <math>\forall \epsilon >0, \forall x \in X, \exists N \in \mathbb{N}\ such\ that\ n>N \Rightarrow \|f_n(x) - f(x)\| < \epsilon</math> 고른수렴 : <math>\forall \epsilon >0, \exists N \in \mathbb{N}\ such\ that\ n>N, x \in X \Rightarrow \|f_n(x) - f(x)\| < \epsilon</math> 위 두 정의를 잘 보면 점별수렴에서는 자연수 <math>N</math>이 <math>\epsilon >0</math>과 <math>x \in X</math>에 모두 의존하여 정해지는 반면 자연수 <math>N</math>이 오직 <math>\epsilon >0</math>에만 의존함을 알 수 있다. 바로 이 차이점 때문에 고른수렴은 점별수렴과 다르게 정의역의 모든 점에서 함수열이 비슷한 속도로 수렴함을 보장할 수 있다. == 성질 == * 함수열 <math>(f_n)</math>이 <math>A</math>에서 <math>f</math>로 고른수렴하고 <math>B\subseteq A</math>이면 <math>(f_n)</math>은 <math>B</math>에서 <math>f</math>로 고른수렴한다. * 함수열 <math>(f_n),(g_n)</math>이 <math>A</math>에서 각각 <math>f,g</math>로 고른수렴하면, <math>(f_n+g_n)</math>도 <math>A</math>에서 <math>f+g</math>로 고른수렴한다. ** 함수열 <math>(f_n),(g_n)</math>이 <math>A</math>에서 각각 <math>f,g</math>로 고른수렴하더라도 <math>(f_ng_n)</math>이 <math>A</math>에서 반드시 고른수렴하지는 않는다. * 고른수렴하는 함수열은 점별수렴한다. * 연속함수열 <math>(f_n)</math>이 <math>A</math>에서 <math>f</math>로 고른수렴하면, <math>f</math>는 연속함수다. * <math>[a,b]</math>에서 리만 적분가능한 함수열 <math>(f_n)</math>이 <math>[a,b]</math>에서 <math>f</math>로 고른수렴하면, <math>f</math>는 <math>[a,b]</math>에서 리만 적분가능하고 <math>\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n = \int_a^b f</math>이다. [[추가바람]] == 예시 == * <math>f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R},f_n(x)=\frac{\sin(nx+3)}{\sqrt{n+1}}</math> 임의의 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 <math>N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon^2}+1\right\rceil</math>로 두면 임의의 자연수 <math>n > N</math>에 대해 : <math>\left|\frac{\sin(nx+3)}{\sqrt{n+1}}\right| \le \frac{1}{\sqrt{n+1}}<\frac{1}{\sqrt{N+1}} < \frac{1}{\sqrt{N}} < \varepsilon</math> 이므로 <math>f_n</math>은 <math>0</math>으로 고른수렴한다. * <math>f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R},f(x)=\frac{x}{n}</math> 임의의 <math>x\in \mathbb{R}</math>에 대해 <math>\lim_{n\to\infty}\frac{x}{n}=0</math>이므로, <math>f_n(x)</math>는 <math>0</math>에 점별수렴함을 알 수 있다. 그러나 <math>\varepsilon = 1</math>, <math>n_k = k</math>, <math>x_k = k</math>로 두면 <math>|f_{n_k}(x_k)-f(x_k)|=|1-0|\ge 1</math>이므로 고른수렴하지 않는다. * <math>f_n:[0,1]\to\mathbb{R},\; f(x)=x^n</math> <math>x\in[0,1)</math>이면 <math>\lim_{n\to\infty}x^n =0</math>이고 <math>\lim_{n\to\infty}1^n = 1</math>이므로 <math>(f_n)</math>는 : <math>f(x)=\begin{cases} 0,&\text{if }x\in[0,1)\\ 1,&\text{if }x=1 \end{cases}</math> 에 수렴한다. 그러나 <math>\varepsilon=\frac{1}{4}</math>, <math>n_k=k+1</math>, <math>x_k = 1-\frac{1}{k+1}</math>로 두면 <math>|f_{n_k}(x_k)-f(x_k)|=\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}\ge \frac{1}{4}</math>이므로 고른수렴하지 않는다. * <math>f_n:[0,\infty)\to\mathbb{R},\;f(x)=\frac{nx}{1+nx^2}</math> 임의의 <math>x > 0</math>에 대해 <math>\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{1+nx^2}=\frac{1}{x}</math>이고 <math>\lim_{n\to\infty}0=0</math>이므로 <math>f_n</math>은 : <math>f(x)=\begin{cases} 0,&\text{if }x=0\\ \frac{1}{x},&\text{if }x>0 \end{cases}</math> 에 수렴한다. 그러나 <math>\varepsilon=\frac{1}{2}</math>, <math>n_k=k</math>, <math>x_k = \frac{1}{k}</math>로 두면 <math>|f_{n_k}(x_k)-f(x_k)| = \left|\frac{k\cdot \frac{1}{k}}{1+k\cdot \frac{1}{k^2}}-k\right|=\left|\frac{k}{k+1}-k\right|=\frac{k^2}{k+1}\ge \frac{1}{2}=\varepsilon</math>이므로 고른수렴하지 않는다. == 같이 보기 == * [[오귀스탱 루이 코시]] * [[디니의 정리]] [[분류:해석학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț