로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!=== 기본 성질 === #메르센 수 <math>\displaystyle M_n=2^n-1</math>이 소수면 <math>\displaystyle n</math>도 소수이다. #*'''증명 ①''': <math>\displaystyle n</math>이 소수가 아니라면, <math>\displaystyle 1< a< n</math>인 <math>\displaystyle n</math>의 약수 <math>\displaystyle a</math>가 존재한다. 그럼, <math>\displaystyle n\equiv 0\pmod a</math>이고, <math>\displaystyle 2^n-1\equiv2^0-1\pmod{2^a-1}</math>임을 [[유클리드 호제법]]을 사용해 보일 수 있다. 따라서, <math>\displaystyle 2^a-1\mid2^n-1</math>이고, <math>\displaystyle M_n</math>은 소수가 아니다. #*'''증명 ②''': <math>\displaystyle n</math>이 합성수이면, <math>\displaystyle n=ab,\ 1<a,b<n </math>인 약수 <math>a, b</math>가 존재한다. <math>\displaystyle 2^a=x</math>로 치환하면 <math>\displaystyle x\ge 4, M_n = 2^{ab}-1 = x^b-1 = (x-1)(x^{b-1} + x^{b-2} +\cdots+ x+1)</math>과 같이 쓸 수 있다. 따라서 <math>x-1 \mid M_n</math>이다. 이때 <math>\displaystyle 3 \le x-1 < M_n</math>이므로 <math>M_n</math>은 합성수가 된다. #*두 증명은 표현 방식만 다를 뿐 접근 방법은 같다. 메르센 수는 주로 소수 찾기 및 탐구에 중점을 두며, 지수가 합성수인 수는 보통 관심의 대상이 아니다. #*'''위 명제의 역은 성립하지 않는다.''' 즉 지수가 소수라고 해서 해당 메르센 수는 소수라고 할 수 없다. 가령 11은 소수이지만 <math>M_{11}=2047= 23\cdot 89</math>로 반례가 존재한다. 사실 <math>p</math>가 소수이지만 <math>M_p</math>는 합성수인 예가 메르센 소수인 경우보다 훨씬 많으며, 수가 커질수록 메르센 소수 찾기란 하늘의 별 따기다. #<math>n</math>이 3 이상의 홀수일 때, <math>M_n</math>을 120으로 나눈 나머지는 7 또는 31이다. #*'''증명''': <math>\displaystyle 2^7\equiv 2^3 \pmod{120}</math>이므로 임의의 자연수 <math>k</math>에 대해 <math>\displaystyle 2^{4k+3}\equiv 8 \pmod{120},\ 2^{4k+5}\equiv 32 \pmod{120}</math>가 성립한다. <math>n \equiv 3 \pmod 4 </math>이면 <math>\displaystyle 2^n \equiv 8 \pmod{120} \Leftrightarrow M_n \equiv 7 \pmod{120}</math>가 성립하고, <math>n \equiv 1 \pmod 4,\ n \ge 5</math>이면 <math>\displaystyle 2^n \equiv 32 \pmod{120} \Leftrightarrow M_n \equiv 31 \pmod{120}</math>임을 알 수 있다. #*따라서 지수가 3 이상인 메르센 소수를 십진법으로 쓰면 일의 자리수는 1또는 7이다. #서로 다른 소수 <math>p,q</math>에 대해 <math>M_p,M_q</math>는 [[서로소]]이다. #*'''증명''': <math>\displaystyle \gcd \left(M_p,M_q \right) = 2^{\gcd(p,q)}-1</math>인데, 서로 다른 소수는 서로소이므로 <math>\gcd(p,q)=1</math> 즉 <math>\gcd \left(M_p,M_q \right)=1</math>이 성립한다. 따라서 <math>M_p,M_q</math>는 서로소이다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț