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\{x\}</math>로 정의하면 <math>O</math>가 열린집합임을 알 수 있다. 그러나 <math>(O\setminus \{x\})\cap A \subset (X\setminus A)\cap A=\emptyset</math>이므로 <math>x\not\in A'</math>이다.}} * <math>A(\subset X)</math>의 [[폐포 (수학)|폐포]]는 <math>\overline{A}=\begin{cases}A,&\text{$A$ is finite} \\X,&\text{$A$ is infinite} \end{cases}</math>이다. {{숨기기|Proof|<math>\overline{A}=A\cup A'</math>로부터 원하는 결과를 얻는다.}} * <math>X</math>가 무한집합이면 <math>X</math>는 [[분리가능 공간]]이다. {{숨기기|Proof|<math>X</math>가 무한집합이므로 <math>X</math>의 가산무한인 부분집합이 존재하고, 그 부분집합의 폐포가 <math>X</math>가 된다.}} * <math>X</math>가 [[비가산집합]]이면 <math>X</math>는 [[제1가산공간]]이 아니다. 또한 <math>X</math>는 어떤 점에서도 가산[[국소기저]]를 가지지 않는다. {{숨기기|Proof|<math>X</math>가 <math>x\in X</math>에서 가산국소기저 <math>\mathcal{B}_x=\{B_n:n\in\mathbb{N}\}</math>를 가진다고 가정하자. 그러면 각 <math>n\in\mathbb{N}</math>에 대해 <math>X\setminus B_n</math>은 유한집합이고 따라서 <math>X\setminus \bigcap_{n=1}^{\infty} B_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}(X\setminus B_n)</math>은 가산집합이다. <math>X</math>가 비가산집합이므로 <math>\bigcap_{n=1}^{\infty} B_n</math>은 비가산집합이고, 따라서 <math>\bigcap_{n=1}^{\infty} B_n</math>은 <math>x</math>와 다른 원소 <math>a</math>를 가진다. <math>X\setminus \{a\}</math>는 <math>x</math>를 포함하는 열린집합이지만 임의의 <math>n\in\mathbb{N}</math>에 대해 <math>B_n\not\subset X\setminus \{a\}</math>이므로, <math>\mathcal{B}_x</math>가 <math>x</math>의 국소기저라는 가정에 모순이 발생한다.}} * <math>(a_n)</math>을 <math>X</math> 위의 점열이라고 하자. ** <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나는 원소가 존재하지 않으면, <math>(a_n)</math>은 모든 점으로 수렴한다. ** <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나는 원소가 단 하나 있으면, <math>(a_n)</math>은 단 한 점으로 수렴한다. ** <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나는 원소가 둘 이상 있으면, <math>(a_n)</math>은 어떤 점으로도 수렴하지 않는다. {{숨기기|Proof| * <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나는 원소가 존재하지 않는 경우: <math>x\in X</math>와 <math>x</math>를 포함하는 <math>X</math> 위의 열린집합 <math>O_x</math>를 고르자. 그러면 <math>X\setminus O_x</math>는 유한집합이다. <math>X\setminus O_x</math>가 <math>(a_n)</math>의 원소를 가지지 않는다면, 임의의 <math>n\in\mathbb{N}</math>에 대해 <math>a_n\in O_x</math>이다. <math>X\setminus O_x</math>가 <math>(a_n)</math>의 원소를 가진다면, <math>X\setminus O_x</math>가 유한집합이고 <math>(a_n)</math>의 모든 원소는 유한 번 나타나므로 <math>N=\max\{i\in\mathbb{N}\mid a_i\in X\setminus O_x\}</math>이 존재한다. 만약 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>n > N</math>이면 <math>a_n \in O_x</math>이다. 따라서 <math>\{a_n\}</math>은 <math>x</math>로 수렴한다. * <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나는 원소가 단 하나 있는 경우: <math>(a_n)</math>에서 무한히 나타나는 원소를 <math>a</math>라 하자. <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나는 원소가 존재하지 않는 경우의 논의 과정을 반복하면 <math>(a_n)</math>은 <math>a</math>로 수렴함을 알 수 있다. 이제 <math>x\in X\setminus \{a\}</math>를 고르자. <math>a</math>가 <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나므로, 임의의 <math>N\in\mathbb{N}</math>에 대해 <math>a_n=a</math>이고 <math>n > N</math>인 <math>n\in\mathbb{N}</math>이 존재한다. <math>X\setminus \{a\}</math>는 <math>x</math>를 포함하는 열린집합이지만 <math>a_n\not\in X\setminus \{a\}</math>이고, 따라서 <math>(a_n)</math>은 <math>x</math>로 수렴하지 않는다. * <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나는 원소가 둘 이상 있는 경우: <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나는 서로 다른 두 원소를 <math>a,b</math>라 하자. 임의의 <math>x\in X</math>에 대해 반드시 <math>x\in (X\setminus\{a\}) \cup (X\setminus\{b\})</math>이며, <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나는 원소가 단 하나 존재하는 경우의 논의 과정을 두 번 반복하면 <math>(a_n)</math>은 어떤 점으로도 수렴하지 않음을 알 수 있다. }} * <math>X</math>의 임의의 부분공간의 [[부분공간 위상]]은 여유한위상이다. {{숨기기|Proof|<math>A</math>를 <math>X</math>의 부분공간이라 하고, <math>T_X</math>를 <math>X</math>의 여유한위상, <math>\mathcal{T}_A</math>를 <math>T_X</math>에 의해 결정되는 부분공간 위상, <math>\mathcal{T}_f</math>를 <math>A</math> 위의 여유한위상이라 하자. <math>U\in T_A</math>를 고르면, <math>U=O\cap A</math>인 <math>O\in T_X</math>가 존재한다. 그러면 <math>X\setminus O</math>는 유한집합이고, <math>A\setminus U=A\setminus (O\cap A)=A\setminus O \subset X\setminus O</math>이므로 <math>A\setminus U</math>는 유한집합이다. 즉, <math>U\in T_f</math>이고 따라서 <math>T_A\subset T_f</math>이다. 이제 <math>V\in T_f</math>를 고르자. 그러면 <math>V\subset A</math>이고 <math>A\setminus V</math>는 유한집합이다. <math>V=(V\cup (X\setminus A))\cap A</math>이고 <math>X\setminus (V\cup (X\setminus A))=(X\setminus V)\cap A=A\setminus V</math>이므로 <math>V\cup (X\setminus A)\in T_X</math>이다. 즉, <math>V\in T_A</math>이고 따라서 <math>T_f \subset T_A</math>이다. 결국 <math>T_A=T_f</math>임을 알 수 있다.}} * <math>X</math>가 [[연결공간]]일 필요충분조건은 <math>X</math>가 한원소집합이거나 무한집합인 것이다. {{숨기기|Proof|<math>X</math>가 [[한원소집합]]인 경우 <math>X</math>가 연결공간임은 자명하다. <math>X</math>가 한원소집합이 아닌 유한집합이라고 가정하면 <math>X</math>는 이산공간이므로 비연결공간이다. 이제 <math>X</math>가 무한집합이라고 가정하자. <math>U\cup V=X</math>, <math>U\cap V=\emptyset</math>인 공집합이 아닌 열린집합 <math>U,V</math>가 있다고 가정하자. 그러면 <math>X\setminus U,X\setminus V</math>는 유한집합이고 : <math>X=X\setminus (U\cap V)=(X\setminus U)\cup (X\setminus V)</math> 이므로 <math>X</math>가 유한집합이 되어 모순이 발생한다.}} * <math>X</math>가 한원소집합이 아닌 가산집합이면 경로연결공간이 아니다. {{숨기기|Proof|<math>X</math>가 한원소집합이 아닌 유한집합이면 비연결공간이므로 경로연결공간이 될 수 없다. <math>X</math>가 가산무한집합이라고 가정하자. <math>X</math>가 가산무한집합이므로 <math>X=\{x_1,x_2,\dots\}</math>로 표기할 수 있다. <math>X</math>가 경로연결집합이라면 연속함수 <math>f:[0,1]\to X</math>가 존재해 <math>f(0)=x_1</math>, <math>f(1)=x_2</math>이다. <math>F_n=f^{-1}(\{x_n\})</math>이라 하자. 그러면 : <math>\displaystyle\begin{align} [0,1]&=f^{-1}(X)\\ &=f^{-1}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} \{x_n\}\right)\\ &=\bigcup_{n=1}^{\infty} f^{-1}(\{x_n\})\\ &=\bigcup_{n=1}^{\infty} F_n \end{align}</math> 이다. 임의의 <math>n</math>에 대해 <math>\{x_n\}</math>은 <math>X</math> 위의 닫힌집합이고, <math>f</math>가 연속함수이므로 <math>F_n</math>은 <math>[0,1]</math> 위의 닫힌집합이다. 그런데 <math>i,j\in\mathbb{N}</math>에 대해 <math>i\ne j</math>이면 <math>F_i, F_j</math>는 서로소이므로 <math>[0,1]</math>은 가산무한 개의 쌍마다 서로소인 닫힌집합들의 합집합이 되는데, 이는 불가능함이 알려져 있다. 따라서 <math>X</math>는 경로연결공간이 아니다.}} * <math>|X|\ge |\mathbb{R}|</math>이면 <math>X</math>는 경로연결공간이다. {{숨기기|Proof|<math>|X|\ge |\mathbb{R}|</math>이므로, [[농도 (수학)|농도]]의 정의에 의해 일대일 함수 <math>f:[0,1]\to X</math>가 존재한다. <math>O</math>를 <math>X</math> 위의 열린집합이라고 하자. 그러면 <math>X\setminus O</math>는 유한집합이고, <math>f</math>가 일대일 함수이므로 <math>f^{-1}(X\setminus O)=[0,1]\setminus f^{-1}(O)</math>는 유한집합이다. 따라서 <math>[0,1]\setminus f^{-1}(O)</math>는 <math>[0,1]</math> 위의 닫힌집합이므로 <math>f^{-1}(O)</math>는 <math>[0,1]</math> 위의 열린집합이다. 따라서 <math>f</math>는 연속함수이다.}} * <math>X</math>의 임의의 부분공간은 [[콤팩트공간]]이다. {{숨기기|Proof|<math>X</math>의 열린덮개를 <math>\mathcal{O}</math>라 하자. <math>\mathcal{O}</math>의 원소 <math>O</math>를 하나 고르면 <math>X\setminus O</math>는 유한집합이고, 따라서 <math>X\setminus O=\{x_1,\dots, x_n\}</math>로 쓸 수 있다. 즉, <math>O</math>는 <math>x_1,\dots, x_n</math>을 제외한 <math>X</math>의 모든 원소를 포함한다. 한편 각 <math>x_i</math>에 대해 <math>x_i \in O_i</math>인 <math>O_i\in \mathcal{O}</math>가 존재한다. 그러면 <math>X=O \cup \bigcup_{i=1}^n O_i</math>이므로 <math>\{O,O_1,\dots, O_n\}</math>이 <math>X</math>의 유한 열린덮개임을 알 수 있다.}} * <math>X</math>는 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이다. {{숨기기|Proof|<math>X</math>가 [[한원소집합]]이면 <math>X</math>의 서로 다른 두 원소를 선택할 수 없으므로 원하는 결론을 얻는다. <math>X</math>가 원소를 두 개 이상 가진다고 가정하자. 서로 다른 <math>a,b\in X</math>를 고르면 <math>O_a=X\setminus \{b\}</math>는 <math>a</math>를 포함하지만 <math>b</math>를 포함하지 않는 열린집합이고, <math>O_b=X\setminus \{a\}</math>는 <math>b</math>를 포함하지만 <math>a</math>를 포함하지 않는 열린집합이다. 따라서 <math>X</math>는 T<sub>1</sub> 공간이다.}} * <math>X</math>의 임의의 T<sub>1</sub> 위상은 여유한위상을 포함한다. {{숨기기|Proof|<math>X</math>의 임의의 T<sub>1</sub> 위상을 <math>\mathcal{T}_1</math>이라 하자. <math>X\setminus O</math>가 유한집합인 <math>X</math>의 부분집합 <math>O</math>를 고르면 <math>(X,\mathcal{T}_1)</math>에서 <math>X\setminus O</math>는 닫힌집합이고, 따라서 <math>O\in \mathcal{T}_1</math>이다.}} * <math>X</math>가 [[T2 공간|T<sub>2</sub> 공간]]일 필요충분조건은 <math>X</math>가 유한집합인 것이다. {{숨기기|Proof|<math>X</math>가 무한집합이면 모든 항이 서로 다른 <math>X</math> 위의 수열을 제시할 수 있고 그 수열은 모든 점으로 수렴한다. T<sub>2</sub> 공간에서 수열의 극한값은 유일하므로 <math>X</math>는 T<sub>2</sub> 공간이 아니다. <math>X</math>가 유한집합이면 <math>X</math> 위의 여유한위상은 이산위상과 동일하고 이산위상이 부여된 위상공간은 T<sub>2</sub> 공간이므로 <math>X</math>는 T<sub>2</sub> 공간이다.}} 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț