로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!== 폐구간 수렴 정리 == 한 폐구간이 있다고 생각하자. 그리고 그 폐구간 안에 다른 폐구간이 있고, 그 폐구간 안에 다른 폐구간이 있고, 그 폐구간 안에 또 다른 폐구간이 있고... {{ㅊ|[[인셉션]]}} 이런식으로 폐구간이 무한히 많이 존재한다고 가정하자. 만약 폐구간의 길이가 계속 줄어들어 구간 길이의 극한값이 0이라면 어떻게 될까? 직관적으로 생각하면 폐구간이 한 곳으로 수렴해서 한 점으로 모일 것이다. 이를 수학적으로 좀 더 엄밀하게 기술하면 다음과 같다. 폐구간 <math>I_n=\left[a_n,b_n\right]</math>에 대해서 <math>I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots</math>이고, <math>\lim_{n\to\infty}\left(b_n-a_n\right)=0</math>이라 가정하자. 그럼 모든 폐구간 <math>I_n</math>에 포함되어있는 실수가 존재하며, 유일하다. 증명을 이해하려면 [[단조 수렴 정리]]와 [[유계]]에 대한 지식이 필요하며, 이를 알면 상당히 간단하다. 증명은 다음과 같다. :<math>\left\{a_n\right\}</math>는 단조 증가하는 수열이고, 위로 유계이다 (<math>b_1</math>이 한 상계이다.). 따라서 단조 수렴 정리에 의해 <math>\lim_{n\to\infty}a_n=A</math>가 실수로서 존재하고, 각 자연수 <math>k</math>에 대해 <math>A=\sup_na_n\leq b_k</math>이다.<ref>만약 아니면 폐구간에 관한 가정에 모순</ref> 따라서 모든 자연수 <math>k</math>에 대해 <math>a_k\leq A\leq b_k</math>이다. 즉 <math>A</math>는 모든 폐구간 <math>I_k</math>에 속해있다. 이제 모든 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>B\in I_n</math>이라 가정하자. 그럼 모든 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>a_n\leq B\leq b_n</math>이고, <math>0\leq B-a_n\leq b_n-a_n</math>이다. 그런데 <math>\lim_{n\to\infty}\left(b_n-a_n\right)=0</math>이므로, 샌드위치 정리에 의해 <math>\lim_{n\to\infty}\left(B-a_n\right)=0</math>이다. 이는 곧, <math>B=\lim_{n\to\infty}a_n=A</math>를 의미하고, <math>A</math>가 모든 폐구간에 포함된 유일한 실수라는 것을 보인다. 중요한 점은 모든 구간이 '''폐구간'''이어야 한다는 사실이다. 반열린 구간이나 개구간에 대해서는 일반적으로 성립하지 않는다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț