Deformation theory

Deformation theory란 어떤 algebraic vareity. 또는 scheme이 "어떻게" 바뀌는지를 보는 대수기하의 일부다. scheme theory를 공부하다 보면 reduced scheme이라는 것이 나오는데, 정의는 structure sheaf에 달린 모든 ring(또는 stalk)이 nilpotent element를 가지지 않는다는 것이고, 이는 직관적으로 아무런 변형하라는 표시가 없는 scheme이라는 뜻이다. 그렇다면, 여기에 변형하라는 표시가 있게 만들 수 있고, 이것을 바로 원래 reduced scheme의 deformation이라고 말한다.

1 Formal definition[편집]

field [math]\displaystyle{ k }[/math]를 하나 잡자. 그리고 그 위의 (of finite type over [math]\displaystyle{ k }[/math]인) scheme [math]\displaystyle{ X }[/math]를 생각하자. 그렇다면

[math]\displaystyle{ D=\mathrm{Spec}\,k[\varepsilon]/(\varepsilon^2) }[/math]

이라고 하자. 이것은 dual number들의 scheme으로, 그 변형하라는 표시가 있는 scheme [math]\displaystyle{ X' }[/math][math]\displaystyle{ D }[/math] 위의 scheme으로 자연스럽게 주어지는 homomorphism으로 다음을 만족해야 한다.

[math]\displaystyle{ X'\times_{D}k\cong X }[/math]

여기에서 [math]\displaystyle{ D\to \mathrm{Spec}\,k }[/math]는 당연히 natural embedding [math]\displaystyle{ k\hookrightarrow k[\varepsilon]/(\varepsilon^2) }[/math]으로 만들어진다. 그렇다면 당연히 [math]\displaystyle{ X'=X\times_{k} D }[/math][math]\displaystyle{ X }[/math]의 deformation이 되겠고 이걸 trivial deformation이라고 한다.

2 deformation의 분류[편집]

다음 많이 중요한 정리를 하나 보자.

  • [math]\displaystyle{ X }[/math]가 nonsigular affine scheme over [math]\displaystyle{ k }[/math]고, [math]\displaystyle{ f:Y\to X }[/math]가 morphism이고, [math]\displaystyle{ Y\subseteq Y' }[/math][math]\displaystyle{ Y }[/math]의 infinitesimal thickening이라고 하자. 그렇다면 [math]\displaystyle{ f }[/math][math]\displaystyle{ f':Y'\to X }[/math]로 lifting될 수 있다. 그러니까 [math]\displaystyle{ f'|_{Y}=f }[/math]가 된다.

증명은 대충 그 ideal sheaf가 square-zero일 때로 reduce하고 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 ring이 polynomial ring일 때를 먼저 해 준 다음에 general case는 Hartshorne 2단원 8장에 나오는 그 exact sequence를 잘 쓰면 된다.[1]

이를 생각하면, 다음을 보일 수 있다.

  • nonsingular affine scheme over [math]\displaystyle{ k }[/math]의 deformation은 trivial deformation밖에 없다.

그러니까, affine scheme에 붙힐 수 있는 변형의 표식은 그냥 그대로 있으라는 거 딱 하나라는 것이다!!

singularity가 있으면 어떻게 될까?? 그러면 homological algebra를 쓰면 [math]\displaystyle{ T^i }[/math]-functor란 걸 정의할 수 있는데, 이것으로 singular affine scheme의 모든 deformation을 분류할 수 있다!! 덤으로 nonsingular라면 trivial deformation밖에 없다는 정리를 다시 얻을 수 있다.[2]

nonsingular를 벗어났으니 이제 affine을 벗어나자. nonsingular scheme over [math]\displaystyle{ k }[/math]의 deformation은 간단하게 affine cover를 생각해서 그 cover의 deformation을 생각하는 것으로 문제를 바꿀 수 있는데, 그렇게 문제를 바꾸고 나면... Cech cohomology가 생각난다!! Cech cohomology도 nerve라는 걸 생각하고 그걸로 계산하지 않는가?? 따라서

[math]\displaystyle{ T_{X}=\mathrm{Hom}(\Omega_{X/k},k) }[/math]

로 tangent sheaf를 정의하면(자연스러운 정의다. 다변수 미적을 할 때 1-form을 tangent bundle에서 [math]\displaystyle{ \Bbb{R} }[/math]로 가는 alternating form으로 정의하니까 다시 dual을 생각하면 tangent sheaf가 나온다.) [math]\displaystyle{ X }[/math]의 deformation들의 집합은

[math]\displaystyle{ H^1(X,T_X) }[/math]

하고 1-1 대응을 가지는 걸로 모든 classify가 끝난다!!

굳이 deformation시키는 애가 scheme만이 아니어도 된다. vector bundle(이 애도 결국 scheme이지만)도 deformation을 생각할 수 있는데, [math]\displaystyle{ X }[/math] 위의 coherent sheaf [math]\displaystyle{ \mathscr{F} }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ \mathscr{F} }[/math]의 deformation이란 [math]\displaystyle{ X\times_{k}D }[/math] 위의 coherent sheaf [math]\displaystyle{ \mathscr{F}' }[/math]를 말하는 것으로, [math]\displaystyle{ D }[/math] 위에서 flat이고, 자연스럽게 주어지는 homomorphism에 대해서 다음을 만족해야 한다.

[math]\displaystyle{ \mathscr{F}'\otimes_{D}k\cong \mathscr{F} }[/math]

이렇게 정의하면 Ext functor는 exact sequence에서 가운데 있는 것들을 classify하므로 이 deformation들을 [math]\displaystyle{ \mathrm{Ext}^1(\mathscr{F},\mathscr{F}) }[/math]로 classification이 끝난다. 그리고 [math]\displaystyle{ \mathscr{F}=\mathcal{E} }[/math]가 vector bundle이라면 이는

[math]\displaystyle{ H^1(X,\mathrm{End}(\mathcal{E})) }[/math]

하고 같다.

3 어디다 쓰일까??[편집]

deformation theory는 변형될 수 있는 방법을 나타낸 것이다. 저 dual number를 붙히는 것도 그 변형될 수 있는 방법을 생각하기 위해서. 이는 moduli problem에서 참 중요한데, moduli problem쪽에선 variety나 scheme, vector bundle같은 걸 모은 것이 scheme이 안 될 수 있다. 이건 인간 직관에서 기하학을 Zariski topology에 맞게 만들지 않았으니 당연한 것이다. 하지만 Deligne-Mumford stack이란 걸 생각할 때, 우린 대수기하로도 인간 직관에 맞는 기하학을 직접 formal하게 생각할 수 있고, 거기에서 neighborhood에 해당되는 것이 바로 deformation이다!! deformation이란 개념은 사실 Zariski보단 인간 직관에 맞는 기하학. 또는 etale site에 더 맞는 개념이란 것이다. 그렇기 때문에, 이는 moduli space의 dimension을 잴 때 많이 쓰이며, [math]\displaystyle{ \mathcal{M}_{g} }[/math]라고 쓰이는 genus g curve들을 모두 모은 moduli space는 Grothendieck-Riemann-Roch theorem과 함께 cohomology의 dimension을 잰다면 그 dimension이 [math]\displaystyle{ g\ge 2 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ 3g-3 }[/math]이란 결과를 얻을 수 있다.

4 각주

  1. 이 정리, Hartshorne 2장 8단원에 연습문제로 있는 거다. 근데 deformation theory란 책에 가선 Hartshorne이 순해졌는지 직접 증명해준다 (...)
  2. Hartshorne의 deformation theory에선 이를 another proof라고 했지만, 필자 생각으론 infinitesimal lifting property를 반복해서 쓴 것 같다.