2학년의 꿈

2학년의 꿈(Sophomore's dream)은 1697년에 요한 베르누이가 발견한 정리다. 2004년에 명명되어 지금까지 쓰이고 있다.

진술

다음 식이 성립한다.

[math]\displaystyle{ \int_0^1 \frac{1}{x^x} dx = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_0^1 x^x dx = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^n} }[/math]

증명

[math]\displaystyle{ x^x }[/math]는 다음과 같이 변형할 수 있다.

[math]\displaystyle{ x^x=e^{x\ln x} }[/math]

이때 [math]\displaystyle{ e^x }[/math]의 매클로린급수는

[math]\displaystyle{ e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ e^{x\ln x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n(\ln x)^n}{n!} }[/math]

이다. 따라서

[math]\displaystyle{ \int_0^1 x^x dx=\int_0^1 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n(\ln x)^n}{n!}dx }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ x\in (0,1] }[/math]이라 하자. [math]\displaystyle{ f(x)=x\ln x }[/math]라 하면

[math]\displaystyle{ f'(x)=\ln x+1 }[/math]

이므로 f는 0<x<1/e일 때 감소하고 1/e<x<1일 때 증가하며, x=1/e에서 최솟값 -1/e를 가진다. 그러면

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to +0}x\ln x=0 }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ \left|x\ln x\right|\le\frac{1}{e} }[/math]

이고 따라서

[math]\displaystyle{ \frac{(x\ln x)^n}{n!}\le\frac{1}{e^n n!} }[/math]

이며

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{e^n n!} }[/math]

는 수렴한다. 따라서 바이어슈트라스-M 판정법에 의해

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x\ln x)^n}{n!} }[/math]

는 고른수렴한다. 따라서 다음 식이 성립한다.

[math]\displaystyle{ \int_0^1 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x\ln x)^n}{n!}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^1 \frac{(x\ln x)^n}{n!}dx }[/math]

한편, 임의의 자연수 n에 대해

[math]\displaystyle{ \begin{align} \int x^n(\ln x)^n dx&=\frac{1}{n+1}x^{n+1}(\ln x)^n - \frac{n}{n+1}\int x^n(\ln x)^{n-1}dx\\ &=\frac{1}{n+1}x^{n+1}(\ln x)^n - \frac{n}{n+1}\left(\frac{1}{n+1}x^{n+1}(\ln x)^{n-1}-\frac{n-1}{n+1}\int x^n(\ln x)^{n-2}dx\right)\\ &=\cdots\\ &=x^{n+1} \sum_{i=0}^n(-1)^i\frac{i!{n \choose i}}{(n+1)^{i+1}}(\ln x)^{n-i} \end{align} }[/math]

이다. 임의의 자연수 m,n에 대해, 로피탈의 정리에 의해

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to +0}x^m(\ln x)^n=0 }[/math]

이고 [math]\displaystyle{ \ln 1 =0 }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ \int_0^1 x^n(\ln x)^n dx=(-1)^n\frac{n!}{(n+1)^{n+1}} }[/math]

이다. 그러므로

[math]\displaystyle{ \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\int_0^1 \frac{(x\ln x)^n}{n!}dx&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(n+1)^{n+1}}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^n} \end{align} }[/math]

을 얻는다.왜이리 길어?

같이 보기

• 1학년의 꿈