2학년의 꿈(Sophomore's dream)은 1697년에 요한 베르누이가 발견한 정리다.[1] 2004년에 명명되어 지금까지 쓰이고 있다.[2]
1 진술[편집]
다음 식이 성립한다.
- [math]\int_0^1 \frac{1}{x^x} dx = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n}[/math]
- [math]\int_0^1 x^x dx = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^n}[/math]
2 증명[편집]
[math]x^x[/math]는 다음과 같이 변형할 수 있다.
- [math]x^x=e^{x\ln x}[/math]
이때 [math]e^x[/math]의 매클로린급수는
- [math]e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}[/math]
이므로
- [math]e^{x\ln x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n(\ln x)^n}{n!}[/math]
이다. 따라서
- [math]\int_0^1 x^x dx=\int_0^1 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n(\ln x)^n}{n!}dx[/math]
이다. [math]x\in (0,1][/math]이라 하자. [math]f(x)=x\ln x[/math]라 하면
- [math]f'(x)=\ln x+1[/math]
이므로 f는 0<x<1/e일 때 감소하고 1/e<x<1일 때 증가하며, x=1/e에서 최솟값 -1/e를 가진다. 그러면
- [math]\lim_{x\to +0}x\ln x=0[/math]
이므로
- [math]\left|x\ln x\right|\le\frac{1}{e}[/math]
이고 따라서
- [math]\frac{(x\ln x)^n}{n!}\le\frac{1}{e^n n!}[/math]
이며
- [math]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{e^n n!}[/math]
는 수렴한다. 따라서 바이어슈트라스-M 판정법에 의해
- [math]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x\ln x)^n}{n!}[/math]
는 고른수렴한다. 따라서 다음 식이 성립한다.
- [math]\int_0^1 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x\ln x)^n}{n!}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^1 \frac{(x\ln x)^n}{n!}dx[/math]
한편, 임의의 자연수 n에 대해
- [math]\begin{align} \int x^n(\ln x)^n dx&=\frac{1}{n+1}x^{n+1}(\ln x)^n - \frac{n}{n+1}\int x^n(\ln x)^{n-1}dx\\ &=\frac{1}{n+1}x^{n+1}(\ln x)^n - \frac{n}{n+1}\left(\frac{1}{n+1}x^{n+1}(\ln x)^{n-1}-\frac{n-1}{n+1}\int x^n(\ln x)^{n-2}dx\right)\\ &=\cdots\\ &=x^{n+1} \sum_{i=0}^n(-1)^i\frac{i!{n \choose i}}{(n+1)^{i+1}}(\ln x)^{n-i} \end{align}[/math]
이다. 임의의 자연수 m,n에 대해, 로피탈의 정리에 의해
- [math]\lim_{x\to +0}x^m(\ln x)^n=0[/math]
이고 [math]\ln 1 =0[/math]이므로
- [math]\int_0^1 x^n(\ln x)^n dx=(-1)^n\frac{n!}{(n+1)^{n+1}}[/math]
이다. 그러므로
- [math]\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\int_0^1 \frac{(x\ln x)^n}{n!}dx&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(n+1)^{n+1}}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^n} \end{align}[/math]
을 얻는다.왜이리 길어?
3 같이 보기[편집]
4 각주
- ↑ Bos, Henk JM. "Johann Bernoulli on Exponential Curves ca. 1695 Innovation and Habituation in the Transition from Explicit Constructions to Implicit Functions." Nieuw Archief voor Wiskunde 14 (1996): 1-20.
- ↑ Borwein, J., & Bailey, D. (2004). Experimentation in mathematics: Computational paths to discovery. Natick, Mass.: AK Peters.