환의 표수

[math]\displaystyle{ R }[/math]에 대해, 최소의 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 존재해 임의의 원소 [math]\displaystyle{ a\in R }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ na=\underbrace{a+a+\cdots+a}_{n\text{ times}}=0 }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ \operatorname{char}R=n }[/math], 그렇지 않으면 [math]\displaystyle{ \operatorname{char}R=0 }[/math]으로 정의하자. [math]\displaystyle{ \operatorname{char} R }[/math][math]\displaystyle{ R }[/math]표수(characteristic)라고 한다.

[math]\displaystyle{ R }[/math]이 단위원이 있는 환이라면, 표수의 정의를 단위원을 이용하여 대체할 수 있다. 즉,

[math]\displaystyle{ n 1_R=\underbrace{1_R+1_R+\cdots+1_R}_{n\text{ times}}=0 }[/math]

을 만족하는 최소의 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 존재하면 [math]\displaystyle{ \operatorname{char} R=n }[/math]이며 그렇지 않으면 [math]\displaystyle{ \operatorname{char} R=0 }[/math]이다.

1 예시[편집]

  • [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_4 }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_4[x] }[/math]는 표수 4인 단위원이 있는 환이지만 정역은 아니다.
  • [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2 }[/math]는 표수 2인 단위원이 있는 환이지만 정역은 아니다.
  • [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[x] }[/math]는 표수 0인 정역이지만 는 아니다.
  • [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2[x] }[/math]는 표수 2인 정역이지만 체는 아니다.
  • [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]는 모두 표수 0인 체이다.
  • [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2 }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2[x]/(x^2+x+1) }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2[x]/(x^3+x+1) }[/math]는 모두 표수 2인 유한체이다.
  • 다항식환 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2[x] }[/math]분수체 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2(x) }[/math]는 표수 2인 무한체이다.

2 성질[편집]

  • 표수가 0인 단위원이 있는 환은 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]와 동형인 부분환을 포함하며, 표수가 [math]\displaystyle{ n }[/math]인 단위원이 있는 환은 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math]과 동형인 부분환을 포함한다.
  • 정역의 표수는 0이거나 소수이다.
  • 표수가 0인 체는 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]와 동형인 부분체를 포함하며, 표수가 소수 [math]\displaystyle{ p }[/math]인 체는 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math]와 동형인 부분체를 포함한다. [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math][math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math]의 부분체는 자신뿐이며, 이들을 소체(prime field)라고 한다.
  • 순서체의 표수는 0이다.