플라스틱 비

플라스틱 비(Plastic ratio) 또는 플라스틱 수는 삼차방정식 [math]\displaystyle{ x^3 = x+1 }[/math]의 실근으로, 황금비의 변형의 일종이다.

정의의 방정식의 실근은 [math]\displaystyle{ \rho=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{69}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{69}}{18}} \approx 1.3247179572 }[/math]이며, 나머지 두 근은 절댓값이 1보다 작은 복소수이다.

성질

플라스틱 비는 황금비와 마찬가지로 다중근호로 전개할 수 있다. 여기서는 근호가 세제곱근이다.

[math]\displaystyle{ \rho =\sqrt[3]{1+\rho} =\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\cdots}}}} }[/math]

단, 연분수 전개의 경우 황금비와 달리 일정하거나 순환하는 패턴이 나오지 않는다.

[math]\displaystyle{ \rho =1+\frac{1}{3+\frac{1}{12+\frac{1}{1+\frac{1}{1+ \cdots}}}}= [1;3,12,1,1,3,2,3,\cdots] }[/math] (OEIS의 수열 A072117)

위 삼차방정식의 실근은 쌍곡선함수와 그 역함수로도 표현할 수 있다.

[math]\displaystyle{ \rho=\frac{2}{\sqrt{3}}\cosh\left(\frac{1}{3}\cosh^{-1}\frac{3\sqrt{3}}{2} \right) }[/math]

플라스틱 비의 역수는 삼차방정식 [math]\displaystyle{ x^3+x^2-1=0 }[/math]의 실근이다.

관련 수열

어떤 수열이 [math]\displaystyle{ a_n=a_{n-2}+a_{n-3} (n \geq 3) }[/math]으로 정의된다면, 이웃한 항 사이의 비는 수열의 초깃값인 [math]\displaystyle{ a_0, a_1, a_2 }[/math]에 관계 없이 플라스틱 비에 수렴한다. 이 점화식은 [math]\displaystyle{ a_n=a_{n-1}+a_{n-5} (n \geq 5) }[/math]로 변형할 수 있다.

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}=\rho }[/math]

위 점화식을 풀면 [math]\displaystyle{ a_n=c \rho^n +c'\sigma^n +c''\bar{\sigma}^n }[/math]의 꼴로 나타난다. 여기서 [math]\displaystyle{ c, c', c'' }[/math]은 초기 조건으로 결정되는 상수이고, [math]\displaystyle{ \sigma, \bar{\sigma} }[/math]는 위 정의에서 언급한 방정식의 허근이며 서로 켤레복소수 관계이다.

이때 세 근[math]\displaystyle{ \rho, \sigma, \bar{\sigma} }[/math]의 곱은 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 1이다. 또한 [math]\displaystyle{ |\rho|\gt 1, |\sigma|=|\bar{\sigma}| }[/math]이므로, 두 허근의 절댓값은 1보다 작다. 따라서 항 번호가 커짐에 따라 [math]\displaystyle{ a_n }[/math]은 [math]\displaystyle{ c\rho^n }[/math]과의 차이가 0에 수렴하고, 이에 따라 이웃한 두 항 사이의 비는 플라스틱 비에 수렴한다.

황금비에 대응하는 수열로 피보나치 수열과 뤼카 수, 백은비에 대응하는 수열로 펠 수열이 있듯이, 플라스틱 비에 대응하는 대표적인 수열이 있다.

페랭 수열

페랭 수열(Perrin sequence)은 초깃값이 [math]\displaystyle{ P(0)=3, P(1)=0, P(2)=2 }[/math]로 주어진 수열이다. 이를 위 점화식의 일반해에 대입하면 [math]\displaystyle{ c=c'=c''=1, P(n)=\rho^n +\sigma^n +\bar{\sigma}^n }[/math]이 된다.

0번째 항부터 처음 페랭 수열의 항들은 아래와 같다.

• 3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, 51, 68, 90, 119, 158, 209, …(OEIS의 수열 A001608)

[math]\displaystyle{ p }[/math]가 소수이면 [math]\displaystyle{ p \mid P(p) }[/math]가 성립하는데, 이유는 다음와 같다.

다항계수를 이용해 [math]\displaystyle{ (\rho+\sigma+\bar{\sigma})^p =\sum_{a+b+c=p}\frac{p!}{a!b!c!}\rho^a \sigma^b \bar{\sigma}^c }[/math]과 같이 전개할 수 있다. 좌변의 괄호 안의 값은 삼차방정식의 근의 합으로, 근과 계수의 관계에 의해 0이다. 우변은 항들 중 [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] 모두 소수 [math]\displaystyle{ p }[/math]보다 작으면 [math]\displaystyle{ p \mid \frac{p!}{a!b!c!} }[/math]이고, 두 개가 0이고 나머지 하나가 [math]\displaystyle{ p }[/math]와 같으면 [math]\displaystyle{ \frac{p!}{a!b!c!}=1 }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \text{RHS}=pk+ \rho^p+\sigma^p+\bar{\sigma}^p=P(p), k \in \mathbb{N} }[/math]과 같이 쓸 수 있고, 이는 곧 [math]\displaystyle{ 0 \equiv P(p) \pmod p }[/math]를 의미한다.

단, 역은 거짓이다: 가장 작은 반례는 [math]\displaystyle{ n=271441=521^2, n \mid P(n) }[/math] 이다.

파도반 수열

파도반 수열(Padovan sequence)은 초깃값이 [math]\displaystyle{ P'(0)=P'(1)=P'(2)=1 }[/math]로 주어진 수열이다.

[math]\displaystyle{ P'(n)=\frac{\rho^n}{3\rho^2-1} +\frac{\sigma^n}{3\sigma^2-1} +\frac{\bar{\sigma}^n}{3\bar{\sigma}^2-1} }[/math]

0번째 항부터 처음 파도반 수열의 항들은 아래와 같다.

• 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, …(OEIS의 수열 A000931)

이 수열의 항들은 이항계수의 합으로 나타낼 수 있다.

[math]\displaystyle{ P'(n)=\sum_{2p+q=n+2}\binom{p}{q} }[/math]

또한 플라스틱 비의 거듭제곱은 [math]\displaystyle{ \rho^n=P'(n-3)\rho^2+P'(n-2)\rho+P'(n-4) }[/math]로 나타낼 수 있다.

같이 보기

• 피솟 수
• 황금비
• 금속비
• 초황금비