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'{{ㅅ|단순위백분기}}{{다른 뜻|카르노의 정리 (열역학)||[[카르노 기관]]에 관한 정리}} '''카르노의 정리'''(Carnot's theorem, -定理)는 [[유클리드 기하학|유클리드 평면 기하학]]의 [[정리]]로, [[프랑스]]의 [[공학자]]이자 [[수학자]]인 [[라자르 카르노]](Lazare Carnot, [[1753년]] - [[1823년]])의 이름이 붙어 있다. 다음과 같이 간단히 공식화할 수 있다. [[파일:카르노의 정리.png||오른쪽]] * ABC를 임의의 [[삼각형]]이라 하고, O를 이 삼각형에 외접하는 [[원 (기하)|원]]의 중심이라 하자. 그러면 O에서 AB, BC, CA에 대한 부호거리(signed distances)는 다음을 만족한다.(우측 도해 참조) * X, Y, Z는 각각 원의 중심 O에서 BC, CA, AB에 내리는 수선의 발이라고 한다. * <math>OX + OY + OZ = R + r,\ </math> 여기서 R는 ABC의 [[외접원]]의 [[반지름]], r는 ABC의 [[내접원]]의 반지름이다. 부호거리가 [[음수]]가 되는 경우는 외접원의 중심에서 내린 수선이 ABC의 바깥에만 놓이는 경우이며, ABC의 안팎에 겹치거나 안쪽에만 놓이면 부호거리는 [[양수 (수학)|양수]]가 된다. 카르노의 정리는 [[일본인의 정리]]를 증명하는 데도 이용된다. == 증명 == 일단 <math> \bar{OX}=R \cos ( \angle A), \bar{OY}=R \cos ( \angle B), \bar{OZ}=R \cos ( \angle C) </math>이므로 <ref> 삼각형 바깥쪽으로 뻗은 수선의 길이는 음수가 된다. </ref> <math>OX + OY + OZ = R \cos ( \angle A)+\cos ( \angle B)+\cos ( \angle C) </math> (1) 한편 삼각형 <math>\triangle ABC </math>의 넓이는 <math> S = 1/2 \times (OX \cdot BC + OY \cdot AC + OZ \cdot AB) </math> [[사인법칙]]을 이용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. <math> S = R^2 \times \left( \cos ( \angle A) \sin( \angle A ) + \cos ( \angle B) \sin ( \angle B )+ \cos ( \angle C) \sin ( \angle C) \right) </math> (2) 한편 삼각형의 넓이는 내접원의 반지름 r에 대해서 다음과 같은 결과가 나온다. <math> S = 1/2 \times r \times ( AB + BC +CA ) = rR \times ( \sin ( \angle A) + \sin (\angle B) + \sin (\angle C) </math> (3) (3)에서 (2)을 나누면 <math> r/R = \frac { \left( \cos ( \angle A) \sin( \angle A ) + \cos ( \angle B) \sin ( \angle B )+ \cos ( \angle C) \sin ( \angle C) \right) }{ \sin (\angle A) + \sin ( \angle B) + \sin ( \angle C) } </math> (4) (4)에서 <math> 1 +r/R = \frac { \left( \cos ( \angle A) \sin( \angle A ) + \cos ( \angle B) \sin ( \angle B )+ \cos ( \angle C) \sin ( \angle C) \right) + \sin (\angle A) + \sin ( \angle B) + \sin ( \angle C) }{ \sin (\angle A) + \sin ( \angle B) + \sin ( \angle C) } </math> (5) 이제 (5) = <math> \cos ( \angle A ) + \cos (\angle B) + \cos (\angle C) </math>임을 보이면 된다. 하지만 <math> \angle A + \angle B + \angle C = \pi </math>이므로 [[삼각함수의 덧셈정리]]를 이용하면 <math> \begin{align} (& \cos ( \angle A ) + \cos (\angle B) + \cos (\angle C) )( \sin ( \angle A ) + \sin (\angle B) + \sin (\angle C) ) \\ =& \left( \cos ( \angle A) \sin( \angle A ) + \cos ( \angle B) \sin ( \angle B )+ \cos ( \angle C) \sin ( \angle C) \right) \\ +& \left ( \sin (\angle A) \cos ( \angle B) + \cos (\angle A) \sin (\angle B) \right) \\ +& \left ( \sin (\angle A) \cos ( \angle C) + \cos (\angle A) \sin (\angle C) \right) \\ +& \left ( \sin (\angle B) \cos ( \angle C) + \cos (\angle B) \sin (\angle C) \right) \\ =& \left( \cos ( \angle A) \sin( \angle A ) + \cos ( \angle B) \sin ( \angle B )+ \cos ( \angle C) \sin ( \angle C) \right)\\ +& \sin (\angle A) + \sin ( \angle B) + \sin ( \angle C) \end{align} </math> 따라서 카르노의 정리가 증명되었다. == 관련 문서 == * [[일본인의 정리]] == 외부 링크 == * [http://mathworld.wolfram.com/CarnotsTheorem.html 카르노의 정리 - 매스월드] {{각주}} [[분류:기하학]] {{퍼온문서|카르노의 정리|10503249}}'