기록 14,814에 대한 자세한 정보2016년 10월 4일 (화) 19:33: Hwangjy9 (토론 | 기여)님이 유클리드 정역에서 "edit" 동작을 수행하여 필터 0이(가) 작동했습니다. 조치: 태그; 필터 설명: (검사)편집에서 바뀐 내용 == 정의 == [[정역]] <math>R</math>에 대해 [[함수 (수학)|함수]] <math>\delta:R\setminus \{0_R\}\to \mathbb{N}\cup\{0\}</math>가 존재해 * 임의의 <math>a,b\in R</math>에 대해 <math>\delta(a)\le \delta(ab)</math> * 임의의 <math>a,b\in R</math>에 대해 <math>b\ne 0_R</math>일 때 <math>q,r\in R</math>이 존재해 <math>a=bq+r</math>을 만족하고, <math>r=0_R</math> 또는 <math>\delta(r)<\delta(b)</math> 을 만족하면 <math>R</math>을 '''유클리드 정역(Euclidean domain)'''이라고 하고, <math>\delta</math>를 유클리드 영역함수(Euclidean valuation)라고 한다. 한편 함수 <math>f:R\setminus \{0_R\}\to \mathbb{N}\cup\{0\}</math>가 두 번째 조건을 만족한다고 가정하자. 함수 <math>\delta:R\setminus \{0_R\}\to \mathbb{N}\cup\{0\}</math>를 : <math>\delta(a)=\min_{b\in R\setminus \{0\}}f(ab)</math> 로 정의하자. 그러면 임의의 <math>a,b\in R</math>에 대해 <math>\delta(a)=f(ab_0)</math>인 <math>b_0\in R\setminus \{0_R\}</math>이 존재하고, <math>\delta(ab)=f(abc)</math>인 <math>c\in R\setminus \{0\}</math>이 존재하는데, <math>\delta</math>의 정의에 의해 <math>\delta(a)=f(ab_0)\le f(abc)=\delta(ab)</math>이다. 따라서 <math>\delta</math>는 첫 번째 조건을 만족한다. 한편 <math>b\in R\setminus\{0\}</math>에 대해 <math>\delta(b)=f(bc)</math>인 <math>c\in R\setminus\{0\}</math>가 존재한다. 이때 <math>a=(bc)q+r</math>을 만족하는 <math>q,r\in R</math>이 존재해 <math>r=0_R</math>이거나 <math>f(r)< f(bc)</math>이다. 그러면 <math>a=b(cq)+r</math>이다. 만약 <math>r=0_R</math>이면 원하는 결론을 얻으므로 <math>r\ne 0_R</math>이라고 가정하자. 그러면 <math>f(r)< f(bc)</math>인데, <math>\delta</math>의 정의에 의해 <math>\delta(r)\le f(r 1_R)=f(r)</math>이므로 <math>\delta(r)\le f(r)< f(bc)=\delta(b)</math>이다. 따라서 <math>\delta</math>는 두 번째 조건을 만족하므로 <math>\delta</math>는 <math>R</math>의 유클리드 영역함수이다. 따라서 정역이 두 번째 조건만 만족하더라도 유클리드 정역이라고 부를 수 있다. == 예시 == * <math>\mathbb{Z}</math>는 <math>\delta(a)=|a|</math>로 주어진 유클리드 정역이다. * <math>F</math>가 [[체 (수학)|체]]일 때, 다항식환 <math>F[x]</math>는 <math>\delta(f(x))=\deg f(x)</math>로 주어진 유클리드 정역이다. * <math>\mathbb{Z}[i]=\{s+ti\mid s,t\in\mathbb{Z}\}</math>는 <math>\delta(s+ti)=s^2+t^2</math>으로 주어진 유클리드 정역이다. * 임의의 체는 <math>\delta(a)=0</math>으로 주어진 유클리드 정역이다. == 성질 == [[추가바람]] 명령 변수 변수값 사용자의 편집 수 (user_editcount)8819 사용자 계정 이름 (user_name)'Hwangjy9' 사용자 계정 만든 후 지난 시간 (user_age)45468171 문서 ID (page_id)0 문서 이름공간 (page_namespace)0 (이름공간을 뺀) 문서 제목 (page_title)'유클리드 정역' 전체 문서 제목 (page_prefixedtitle)'유클리드 정역' 동작 (action)'edit' 편집 요약/이유 (summary)'' 사소한 편집으로 표시할지의 여부 (더 이상 쓰이지 않음) (minor_edit)false 편집 전 과거 문서의 위키텍스트 (old_wikitext)'' 편집 후 새 문서의 위키텍스트 (new_wikitext)'== 정의 == [[정역]] <math>R</math>에 대해 [[함수 (수학)|함수]] <math>\delta:R\setminus \{0_R\}\to \mathbb{N}\cup\{0\}</math>가 존재해 * 임의의 <math>a,b\in R</math>에 대해 <math>\delta(a)\le \delta(ab)</math> * 임의의 <math>a,b\in R</math>에 대해 <math>b\ne 0_R</math>일 때 <math>q,r\in R</math>이 존재해 <math>a=bq+r</math>을 만족하고, <math>r=0_R</math> 또는 <math>\delta(r)<\delta(b)</math> 을 만족하면 <math>R</math>을 '''유클리드 정역(Euclidean domain)'''이라고 하고, <math>\delta</math>를 유클리드 영역함수(Euclidean valuation)라고 한다. 한편 함수 <math>f:R\setminus \{0_R\}\to \mathbb{N}\cup\{0\}</math>가 두 번째 조건을 만족한다고 가정하자. 함수 <math>\delta:R\setminus \{0_R\}\to \mathbb{N}\cup\{0\}</math>를 : <math>\delta(a)=\min_{b\in R\setminus \{0\}}f(ab)</math> 로 정의하자. 그러면 임의의 <math>a,b\in R</math>에 대해 <math>\delta(a)=f(ab_0)</math>인 <math>b_0\in R\setminus \{0_R\}</math>이 존재하고, <math>\delta(ab)=f(abc)</math>인 <math>c\in R\setminus \{0\}</math>이 존재하는데, <math>\delta</math>의 정의에 의해 <math>\delta(a)=f(ab_0)\le f(abc)=\delta(ab)</math>이다. 따라서 <math>\delta</math>는 첫 번째 조건을 만족한다. 한편 <math>b\in R\setminus\{0\}</math>에 대해 <math>\delta(b)=f(bc)</math>인 <math>c\in R\setminus\{0\}</math>가 존재한다. 이때 <math>a=(bc)q+r</math>을 만족하는 <math>q,r\in R</math>이 존재해 <math>r=0_R</math>이거나 <math>f(r)< f(bc)</math>이다. 그러면 <math>a=b(cq)+r</math>이다. 만약 <math>r=0_R</math>이면 원하는 결론을 얻으므로 <math>r\ne 0_R</math>이라고 가정하자. 그러면 <math>f(r)< f(bc)</math>인데, <math>\delta</math>의 정의에 의해 <math>\delta(r)\le f(r 1_R)=f(r)</math>이므로 <math>\delta(r)\le f(r)< f(bc)=\delta(b)</math>이다. 따라서 <math>\delta</math>는 두 번째 조건을 만족하므로 <math>\delta</math>는 <math>R</math>의 유클리드 영역함수이다. 따라서 정역이 두 번째 조건만 만족하더라도 유클리드 정역이라고 부를 수 있다. == 예시 == * <math>\mathbb{Z}</math>는 <math>\delta(a)=|a|</math>로 주어진 유클리드 정역이다. * <math>F</math>가 [[체 (수학)|체]]일 때, 다항식환 <math>F[x]</math>는 <math>\delta(f(x))=\deg f(x)</math>로 주어진 유클리드 정역이다. * <math>\mathbb{Z}[i]=\{s+ti\mid s,t\in\mathbb{Z}\}</math>는 <math>\delta(s+ti)=s^2+t^2</math>으로 주어진 유클리드 정역이다. * 임의의 체는 <math>\delta(a)=0</math>으로 주어진 유클리드 정역이다. == 성질 == [[추가바람]]' 편집 전후의 차이 (edit_diff)'@@ -1 +1,16 @@ +== 정의 == +[[정역]] <math>R</math>에 대해 [[함수 (수학)|함수]] <math>\delta:R\setminus \{0_R\}\to \mathbb{N}\cup\{0\}</math>가 존재해 +* 임의의 <math>a,b\in R</math>에 대해 <math>\delta(a)\le \delta(ab)</math> +* 임의의 <math>a,b\in R</math>에 대해 <math>b\ne 0_R</math>일 때 <math>q,r\in R</math>이 존재해 <math>a=bq+r</math>을 만족하고, <math>r=0_R</math> 또는 <math>\delta(r)<\delta(b)</math> +을 만족하면 <math>R</math>을 '''유클리드 정역(Euclidean domain)'''이라고 하고, <math>\delta</math>를 유클리드 영역함수(Euclidean valuation)라고 한다. 한편 함수 <math>f:R\setminus \{0_R\}\to \mathbb{N}\cup\{0\}</math>가 두 번째 조건을 만족한다고 가정하자. 함수 <math>\delta:R\setminus \{0_R\}\to \mathbb{N}\cup\{0\}</math>를 +: <math>\delta(a)=\min_{b\in R\setminus \{0\}}f(ab)</math> +로 정의하자. 그러면 임의의 <math>a,b\in R</math>에 대해 <math>\delta(a)=f(ab_0)</math>인 <math>b_0\in R\setminus \{0_R\}</math>이 존재하고, <math>\delta(ab)=f(abc)</math>인 <math>c\in R\setminus \{0\}</math>이 존재하는데, <math>\delta</math>의 정의에 의해 <math>\delta(a)=f(ab_0)\le f(abc)=\delta(ab)</math>이다. 따라서 <math>\delta</math>는 첫 번째 조건을 만족한다. 한편 <math>b\in R\setminus\{0\}</math>에 대해 <math>\delta(b)=f(bc)</math>인 <math>c\in R\setminus\{0\}</math>가 존재한다. 이때 <math>a=(bc)q+r</math>을 만족하는 <math>q,r\in R</math>이 존재해 <math>r=0_R</math>이거나 <math>f(r)< f(bc)</math>이다. 그러면 <math>a=b(cq)+r</math>이다. 만약 <math>r=0_R</math>이면 원하는 결론을 얻으므로 <math>r\ne 0_R</math>이라고 가정하자. 그러면 <math>f(r)< f(bc)</math>인데, <math>\delta</math>의 정의에 의해 <math>\delta(r)\le f(r 1_R)=f(r)</math>이므로 <math>\delta(r)\le f(r)< f(bc)=\delta(b)</math>이다. 따라서 <math>\delta</math>는 두 번째 조건을 만족하므로 <math>\delta</math>는 <math>R</math>의 유클리드 영역함수이다. +따라서 정역이 두 번째 조건만 만족하더라도 유클리드 정역이라고 부를 수 있다. +== 예시 == +* <math>\mathbb{Z}</math>는 <math>\delta(a)=|a|</math>로 주어진 유클리드 정역이다. +* <math>F</math>가 [[체 (수학)|체]]일 때, 다항식환 <math>F[x]</math>는 <math>\delta(f(x))=\deg f(x)</math>로 주어진 유클리드 정역이다. +* <math>\mathbb{Z}[i]=\{s+ti\mid s,t\in\mathbb{Z}\}</math>는 <math>\delta(s+ti)=s^2+t^2</math>으로 주어진 유클리드 정역이다. +* 임의의 체는 <math>\delta(a)=0</math>으로 주어진 유클리드 정역이다. +== 성질 == +[[추가바람]] ' 새 문서 크기 (new_size)2675 편집 중 추가된 줄 (added_lines)[ 0 => '== 정의 ==', 1 => '[[정역]] <math>R</math>에 대해 [[함수 (수학)|함수]] <math>\delta:R\setminus \{0_R\}\to \mathbb{N}\cup\{0\}</math>가 존재해', 2 => '* 임의의 <math>a,b\in R</math>에 대해 <math>\delta(a)\le \delta(ab)</math>', 3 => '* 임의의 <math>a,b\in R</math>에 대해 <math>b\ne 0_R</math>일 때 <math>q,r\in R</math>이 존재해 <math>a=bq+r</math>을 만족하고, <math>r=0_R</math> 또는 <math>\delta(r)<\delta(b)</math>', 4 => '을 만족하면 <math>R</math>을 '''유클리드 정역(Euclidean domain)'''이라고 하고, <math>\delta</math>를 유클리드 영역함수(Euclidean valuation)라고 한다. 한편 함수 <math>f:R\setminus \{0_R\}\to \mathbb{N}\cup\{0\}</math>가 두 번째 조건을 만족한다고 가정하자. 함수 <math>\delta:R\setminus \{0_R\}\to \mathbb{N}\cup\{0\}</math>를', 5 => ': <math>\delta(a)=\min_{b\in R\setminus \{0\}}f(ab)</math>', 6 => '로 정의하자. 그러면 임의의 <math>a,b\in R</math>에 대해 <math>\delta(a)=f(ab_0)</math>인 <math>b_0\in R\setminus \{0_R\}</math>이 존재하고, <math>\delta(ab)=f(abc)</math>인 <math>c\in R\setminus \{0\}</math>이 존재하는데, <math>\delta</math>의 정의에 의해 <math>\delta(a)=f(ab_0)\le f(abc)=\delta(ab)</math>이다. 따라서 <math>\delta</math>는 첫 번째 조건을 만족한다. 한편 <math>b\in R\setminus\{0\}</math>에 대해 <math>\delta(b)=f(bc)</math>인 <math>c\in R\setminus\{0\}</math>가 존재한다. 이때 <math>a=(bc)q+r</math>을 만족하는 <math>q,r\in R</math>이 존재해 <math>r=0_R</math>이거나 <math>f(r)< f(bc)</math>이다. 그러면 <math>a=b(cq)+r</math>이다. 만약 <math>r=0_R</math>이면 원하는 결론을 얻으므로 <math>r\ne 0_R</math>이라고 가정하자. 그러면 <math>f(r)< f(bc)</math>인데, <math>\delta</math>의 정의에 의해 <math>\delta(r)\le f(r 1_R)=f(r)</math>이므로 <math>\delta(r)\le f(r)< f(bc)=\delta(b)</math>이다. 따라서 <math>\delta</math>는 두 번째 조건을 만족하므로 <math>\delta</math>는 <math>R</math>의 유클리드 영역함수이다.', 7 => '따라서 정역이 두 번째 조건만 만족하더라도 유클리드 정역이라고 부를 수 있다.', 8 => '== 예시 ==', 9 => '* <math>\mathbb{Z}</math>는 <math>\delta(a)=|a|</math>로 주어진 유클리드 정역이다.', 10 => '* <math>F</math>가 [[체 (수학)|체]]일 때, 다항식환 <math>F[x]</math>는 <math>\delta(f(x))=\deg f(x)</math>로 주어진 유클리드 정역이다.', 11 => '* <math>\mathbb{Z}[i]=\{s+ti\mid s,t\in\mathbb{Z}\}</math>는 <math>\delta(s+ti)=s^2+t^2</math>으로 주어진 유클리드 정역이다.', 12 => '* 임의의 체는 <math>\delta(a)=0</math>으로 주어진 유클리드 정역이다.', 13 => '== 성질 ==', 14 => '[[추가바람]]' ] 편집이 토르 끝 노드를 통해 바뀌었는 지의 여부 (tor_exit_node)0 바뀐 시점의 유닉스 시간 기록 (timestamp)1475577210