(이름공간을 뺀) 문서 제목 (page_title) | '측정 보조정리' |
전체 문서 제목 (page_prefixedtitle) | '측정 보조정리' |
편집 전 과거 문서의 위키텍스트 (old_wikitext) | '' |
편집 후 새 문서의 위키텍스트 (new_wikitext) | '{{학술}}
== 개요 ==
'''측정 보조정리(Estimation lemma)'''는 경로적분의 절댓값의 상계를 추정할 수 있게 하는 정리이다.
== 진술 ==
복소함수 <math>f</math>가 경로 <math>\Gamma</math>에서 연속이고 <math>\Gamma</math> 위의 임의의 점 <math>z</math>에 대해 <math>|f(z)|\le M</math>인 <math>M\in\mathbb{R}</math>이 존재하면, 다음 부등식이 성립한다.
: <math>\left|\int_{\Gamma} f(z) dz\right|\le Ml(\Gamma)</math>
이때 <math>l(\Gamma)</math>는 <math>\Gamma</math>의 길이이다.
== 증명 ==
<math>\Gamma</math>에 포함된 매끄러운 곡선 <math>\gamma</math>에 대해 부등식이 성립함을 보이면 된다. <math>\gamma</math>의 분할 <math>P=\{z_1,z_2,\cdots, z_n\}</math>에 대응하는 리만 합에 대해 다음 부등식이 성립한다.
: <math>\left|\sum_{k=1}^n f(c_k) \Delta z_k\right| \le M\sum_{k=1}^n |\Delta z_k|\le l(\gamma)</math>
그러면 <math>\Gamma=(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_k)</math>에 대해
: <math>\begin{align}
\int_{\Gamma} f(z)dz &= \int_{\gamma_1}f(z)dz + \int_{\gamma_2}f(z)dz+\cdots+ \int_{\gamma_k}f(z)dz\\
&\le Ml(\gamma_1)+Ml(\gamma_2)+\cdots+Ml(\gamma_k)\\
&=Ml(\Gamma)
\end{align}</math>
이므로 원하는 결론을 얻는다.
또는 <math>\left|\int_a^b f(t)dt\right| \le \int_a^b |f(t)|dt</math>를 먼저 증명한 뒤 측정 보조정리가 따름정리가 됨을 보이면 된다.
== 예시 ==
* <math>C:|z|=3</math>일 때, <math>\left|\int_C \frac{dz}{z^2-i}\right|\le \frac{3\pi}{4}</math>
{{글 숨김|제목=Solution|1=[[삼각부등식]]에 의해
: <math>\left|\frac{1}{z^2-i}\right|\le \frac{1}{|z|^2-1}=\frac{1}{8}</math>
이므로 측정 보조정리에 의해
: <math>\left|\int_C\frac{1}{z^2-i} dz\right|\le \frac{1}{8}\cdot 6\pi = \frac{3\pi}{4}</math>
이다.
}}' |
편집 전후의 차이 (edit_diff) | '@@ -1 +1,27 @@
+{{학술}}
+== 개요 ==
+'''측정 보조정리(Estimation lemma)'''는 경로적분의 절댓값의 상계를 추정할 수 있게 하는 정리이다.
+== 진술 ==
+복소함수 <math>f</math>가 경로 <math>\Gamma</math>에서 연속이고 <math>\Gamma</math> 위의 임의의 점 <math>z</math>에 대해 <math>|f(z)|\le M</math>인 <math>M\in\mathbb{R}</math>이 존재하면, 다음 부등식이 성립한다.
+: <math>\left|\int_{\Gamma} f(z) dz\right|\le Ml(\Gamma)</math>
+이때 <math>l(\Gamma)</math>는 <math>\Gamma</math>의 길이이다.
+== 증명 ==
+<math>\Gamma</math>에 포함된 매끄러운 곡선 <math>\gamma</math>에 대해 부등식이 성립함을 보이면 된다. <math>\gamma</math>의 분할 <math>P=\{z_1,z_2,\cdots, z_n\}</math>에 대응하는 리만 합에 대해 다음 부등식이 성립한다.
+: <math>\left|\sum_{k=1}^n f(c_k) \Delta z_k\right| \le M\sum_{k=1}^n |\Delta z_k|\le l(\gamma)</math>
+그러면 <math>\Gamma=(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_k)</math>에 대해
+: <math>\begin{align}
+\int_{\Gamma} f(z)dz &= \int_{\gamma_1}f(z)dz + \int_{\gamma_2}f(z)dz+\cdots+ \int_{\gamma_k}f(z)dz\\
+&\le Ml(\gamma_1)+Ml(\gamma_2)+\cdots+Ml(\gamma_k)\\
+&=Ml(\Gamma)
+\end{align}</math>
+이므로 원하는 결론을 얻는다.
+또는 <math>\left|\int_a^b f(t)dt\right| \le \int_a^b |f(t)|dt</math>를 먼저 증명한 뒤 측정 보조정리가 따름정리가 됨을 보이면 된다.
+== 예시 ==
+* <math>C:|z|=3</math>일 때, <math>\left|\int_C \frac{dz}{z^2-i}\right|\le \frac{3\pi}{4}</math>
+{{글 숨김|제목=Solution|1=[[삼각부등식]]에 의해
+: <math>\left|\frac{1}{z^2-i}\right|\le \frac{1}{|z|^2-1}=\frac{1}{8}</math>
+이므로 측정 보조정리에 의해
+: <math>\left|\int_C\frac{1}{z^2-i} dz\right|\le \frac{1}{8}\cdot 6\pi = \frac{3\pi}{4}</math>
+이다.
+}}
' |
편집 중 추가된 줄 (added_lines) | [
0 => '{{학술}}',
1 => '== 개요 ==',
2 => ''''측정 보조정리(Estimation lemma)'''는 경로적분의 절댓값의 상계를 추정할 수 있게 하는 정리이다.',
3 => '== 진술 ==',
4 => '복소함수 <math>f</math>가 경로 <math>\Gamma</math>에서 연속이고 <math>\Gamma</math> 위의 임의의 점 <math>z</math>에 대해 <math>|f(z)|\le M</math>인 <math>M\in\mathbb{R}</math>이 존재하면, 다음 부등식이 성립한다.',
5 => ': <math>\left|\int_{\Gamma} f(z) dz\right|\le Ml(\Gamma)</math>',
6 => '이때 <math>l(\Gamma)</math>는 <math>\Gamma</math>의 길이이다.',
7 => '== 증명 ==',
8 => '<math>\Gamma</math>에 포함된 매끄러운 곡선 <math>\gamma</math>에 대해 부등식이 성립함을 보이면 된다. <math>\gamma</math>의 분할 <math>P=\{z_1,z_2,\cdots, z_n\}</math>에 대응하는 리만 합에 대해 다음 부등식이 성립한다.',
9 => ': <math>\left|\sum_{k=1}^n f(c_k) \Delta z_k\right| \le M\sum_{k=1}^n |\Delta z_k|\le l(\gamma)</math>',
10 => '그러면 <math>\Gamma=(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_k)</math>에 대해',
11 => ': <math>\begin{align}',
12 => '\int_{\Gamma} f(z)dz &= \int_{\gamma_1}f(z)dz + \int_{\gamma_2}f(z)dz+\cdots+ \int_{\gamma_k}f(z)dz\\',
13 => '&\le Ml(\gamma_1)+Ml(\gamma_2)+\cdots+Ml(\gamma_k)\\',
14 => '&=Ml(\Gamma)',
15 => '\end{align}</math>',
16 => '이므로 원하는 결론을 얻는다.',
17 => '또는 <math>\left|\int_a^b f(t)dt\right| \le \int_a^b |f(t)|dt</math>를 먼저 증명한 뒤 측정 보조정리가 따름정리가 됨을 보이면 된다.',
18 => '== 예시 ==',
19 => '* <math>C:|z|=3</math>일 때, <math>\left|\int_C \frac{dz}{z^2-i}\right|\le \frac{3\pi}{4}</math>',
20 => '{{글 숨김|제목=Solution|1=[[삼각부등식]]에 의해',
21 => ': <math>\left|\frac{1}{z^2-i}\right|\le \frac{1}{|z|^2-1}=\frac{1}{8}</math>',
22 => '이므로 측정 보조정리에 의해',
23 => ': <math>\left|\int_C\frac{1}{z^2-i} dz\right|\le \frac{1}{8}\cdot 6\pi = \frac{3\pi}{4}</math>',
24 => '이다.',
25 => '}}'
] |