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2016년 2월 12일 (금) 03:48: Hwangjy9 (토론 | 기여)님이 고른수렴에서 "edit" 동작을 수행하여 필터 0이(가) 작동했습니다. 조치: 태그; 필터 설명: (검사)

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{{학술}}
{{작성중}}
== 정의 ==
<math>A\subseteq \mathbb{R}</math>이고 함수 <math>f_n:A\to\mathbb{R}</math>를 항으로 가지는 함수열 <math>(f_n)</math>을 생각하자. 임의의 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 자연수 <math>N</math>이 존재해 임의의 <math>x\in A</math>와 임의의 자연수 <math>n > N</math>에 대해 <math>|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</math>이면 <math>(f_n)</math>이 <math>A</math>에서 <math>f</math>에 '''고른수렴(uniformly converge)''', '''평등수렴''', 또는 '''균등수렴'''한다고 한다.


함수열 <math>(f_n)</math>이 <math>A</math>에서 <math>f</math>로 고른수렴하지 않을 필요충분조건은 <math>\varepsilon > 0</math>이 존재해 임의의 자연수 <math>k</math>에 대해 점열 <math>(x_k)</math>와 수열 <math>(n_k)</math>가 존재해 <math>|f_{n_k}(x_k)-f(x_k)| \ge \varepsilon </math>인 것이다.
== 성질 ==
* 함수열 <math>(f_n),(g_n)</math>이 <math>A</math>에서 각각 <math>f,g</math>로 고른수렴하면, <math>(f_n+g_n)</math>도 <math>A</math>에서 <math>f+g</math>로 고른수렴한다.
** 함수열 <math>(f_n),(g_n)</math>이 <math>A</math>에서 각각 <math>f,g</math>로 고른수렴하더라도 <math>(f_ng_n)</math>이 <math>A</math>에서 반드시 고른수렴하지는 않는다.
* 고른수렴하는 함수열은 점별수렴한다.
[[추가바람]]
== 예시 ==
<!-- 이 함수열의 점별수렴, 고른수렴 여부를 밝혀 주세요 -->
* <math>f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R},f_n(x)=\frac{\sin(nx+3)}{\sqrt{n+1}}</math>
* <math>f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R},f(x)=\frac{x}{n}</math>
임의의 <math>x\in \mathbb{R}</math>에 대해 <math>\lim_{n\to\infty}\frac{x}{n}=0</math>이므로, <math>f_n(x)</math>는 <math>0</math>에 점별수렴함을 알 수 있다. 그러나 <math>\varepsilon = 1</math>, <math>n_k = k</math>, <math>x_k = k</math>로 두면 <math>|f_{n_k}(x_k)-f(x_k)|=|1-0|\ge 1</math>이므로 고른수렴하지 않는다.
* <math>f_n:[0,1]\to\mathbb{R},\; f(x)=x^n</math>
<math>x\in[0,1)</math>이면 <math>\lim_{n\to\infty}x^n =0</math>이고 <math>\lim_{n\to\infty}1^n = 1</math>이므로 <math>(f_n)</math>는
: <math>f(x)=\begin{cases}
0,&\text{if }x\in[0,1)\\
1,&\text{if }x=1
\end{cases}</math>
에 수렴한다. 그러나 <math>\varepsilon=\frac{1}{4}</math>, <math>n_k=k+1</math>, <math>x_k = 1-\frac{1}{k+1}</math>로 두면 <math>|f_{n_k}(x_k)-f(x_k)|=\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}\ge \frac{1}{4}</math>이므로 고른수렴하지 않는다.
* <math>f_n:[0,\infty)\to\mathbb{R},\;f(x)=\frac{nx}{1+nx^2}</math>
== 같이 보기 ==
* [[오귀스탱 루이 코시]]
* [[디니의 정리]]
[[분류:해석학]]

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'@@ -1 +1,30 @@ +{{학술}} +{{작성중}} +== 정의 == +<math>A\subseteq \mathbb{R}</math>이고 함수 <math>f_n:A\to\mathbb{R}</math>를 항으로 가지는 함수열 <math>(f_n)</math>을 생각하자. 임의의 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 자연수 <math>N</math>이 존재해 임의의 <math>x\in A</math>와 임의의 자연수 <math>n > N</math>에 대해 <math>|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</math>이면 <math>(f_n)</math>이 <math>A</math>에서 <math>f</math>에 '''고른수렴(uniformly converge)''', '''평등수렴''', 또는 '''균등수렴'''한다고 한다. +함수열 <math>(f_n)</math>이 <math>A</math>에서 <math>f</math>로 고른수렴하지 않을 필요충분조건은 <math>\varepsilon > 0</math>이 존재해 임의의 자연수 <math>k</math>에 대해 점열 <math>(x_k)</math>와 수열 <math>(n_k)</math>가 존재해 <math>|f_{n_k}(x_k)-f(x_k)| \ge \varepsilon </math>인 것이다. +== 성질 == +* 함수열 <math>(f_n),(g_n)</math>이 <math>A</math>에서 각각 <math>f,g</math>로 고른수렴하면, <math>(f_n+g_n)</math>도 <math>A</math>에서 <math>f+g</math>로 고른수렴한다. +** 함수열 <math>(f_n),(g_n)</math>이 <math>A</math>에서 각각 <math>f,g</math>로 고른수렴하더라도 <math>(f_ng_n)</math>이 <math>A</math>에서 반드시 고른수렴하지는 않는다. +* 고른수렴하는 함수열은 점별수렴한다. +[[추가바람]] +== 예시 == +<!-- 이 함수열의 점별수렴, 고른수렴 여부를 밝혀 주세요 --> +* <math>f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R},f_n(x)=\frac{\sin(nx+3)}{\sqrt{n+1}}</math> +* <math>f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R},f(x)=\frac{x}{n}</math> +임의의 <math>x\in \mathbb{R}</math>에 대해 <math>\lim_{n\to\infty}\frac{x}{n}=0</math>이므로, <math>f_n(x)</math>는 <math>0</math>에 점별수렴함을 알 수 있다. 그러나 <math>\varepsilon = 1</math>, <math>n_k = k</math>, <math>x_k = k</math>로 두면 <math>|f_{n_k}(x_k)-f(x_k)|=|1-0|\ge 1</math>이므로 고른수렴하지 않는다. +* <math>f_n:[0,1]\to\mathbb{R},\; f(x)=x^n</math> +<math>x\in[0,1)</math>이면 <math>\lim_{n\to\infty}x^n =0</math>이고 <math>\lim_{n\to\infty}1^n = 1</math>이므로 <math>(f_n)</math>는 +: <math>f(x)=\begin{cases} +0,&\text{if }x\in[0,1)\\ +1,&\text{if }x=1 +\end{cases}</math> +에 수렴한다. 그러나 <math>\varepsilon=\frac{1}{4}</math>, <math>n_k=k+1</math>, <math>x_k = 1-\frac{1}{k+1}</math>로 두면 <math>|f_{n_k}(x_k)-f(x_k)|=\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}\ge \frac{1}{4}</math>이므로 고른수렴하지 않는다. +* <math>f_n:[0,\infty)\to\mathbb{R},\;f(x)=\frac{nx}{1+nx^2}</math> + +== 같이 보기 == +* [[오귀스탱 루이 코시]] +* [[디니의 정리]] + +[[분류:해석학]] '
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바뀐 시점의 유닉스 시간 기록 (timestamp)
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