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2016년 1월 25일 (월) 19:11: Hwangjy9 (토론 | 기여)님이 일반항 판정법에서 "edit" 동작을 수행하여 필터 0이(가) 작동했습니다. 조치: 태그; 필터 설명: (검사)

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편집 전후의 차이 `(edit_diff)`	'@@ -1 +1,24 @@ +{{학술}} +{{토막글}} +'''일반항 판정법(limit term test, term test)'''는 일반항을 이용해 [[수열]]의 [[수열의 극한\|수렴]] 여부를 판정하는 정리이다. +== 진술 == +수열 <math>(a_n)</math>에 대해 <math>\sum_{i=1}^{\infty}a_n</math>이 수렴하면 <math>\lim_{n\to \infty}a_n = 0</math>이다. +== 증명 == +<math>\sum_{i=1}^{\infty}a_n</math>이 수렴한다고 가정하자. 그러면 <math>\sum_{i=1}^{\infty}a_n</math>의 부분합 <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i</math>에 대해 <math>\lim_{n\to \infty}S_n = S</math>인 <math>S</math>가 존재한다. <math>\lim_{n\to \infty}S_n=S</math>이면 임의의 <math>\varepsilon > 0 </math>에 대해 [[자연수]] <math>N</math>이 존재해 임의의 자연수 <math>n > N</math>에 대해 <math>\|S_n - S\| < \varepsilon</math>이다. 여기서 임의의 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 <math>N+1</math>을 설정하면 임의의 <math>n > N+1</math>에 대해 <math>n-1 > N</math>이므로 <math>\|S_{n-1} - S\|<\varepsilon</math>이다. 그러므로 <math>\lim_{n\to \infty}S_{n-1}=S</math>이다. <math>a_n=S_n-S_{n-1}</math>이고 <math>(S_n),(S_{n-1})</math>이 모두 수렴하므로 수열의 극한의 기본 성질에 의해 +: <math>\begin{align} +\lim_{n\to\infty}a_n &= \lim_{n\to\infty} (S_n - S_{n-1})\\ +&=\lim_{n\to \infty} S_n - \lim_{n\to \infty}S_{n-1}\\ +&= S- S\\ +&=0 +\end{align}</math> +으로 원하는 결과를 얻는다. +== 예시 == +일반항 판정법을 이용해 다음 급수가 발산함을 보일 수 있다. +* <math>\sum_{n=1}^{\infty}\cos n</math> +* <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^2+1}</math> +* <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-2)^n</math> +* <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n</math> + +일반항 판정법의 역은 성립하지 않는다. 다시 말해 <math>\lim_{n\to \infty}a_n = 0</math>이라고 해서 <math>\sum_{i=1}^{\infty}a_n</math>가 수렴하는 것은 아니다. 예를 들어, +* <math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0</math>이지만 <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}</math>은 발산한다. '
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편집 중 추가된 줄 `(added_lines)`	[ 0 => '{{학술}}', 1 => '{{토막글}}', 2 => ''''일반항 판정법(limit term test, term test)'''는 일반항을 이용해 [[수열]]의 [[수열의 극한\|수렴]] 여부를 판정하는 정리이다.', 3 => '== 진술 ==', 4 => '수열 <math>(a_n)</math>에 대해 <math>\sum_{i=1}^{\infty}a_n</math>이 수렴하면 <math>\lim_{n\to \infty}a_n = 0</math>이다.', 5 => '== 증명 ==', 6 => '<math>\sum_{i=1}^{\infty}a_n</math>이 수렴한다고 가정하자. 그러면 <math>\sum_{i=1}^{\infty}a_n</math>의 부분합 <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i</math>에 대해 <math>\lim_{n\to \infty}S_n = S</math>인 <math>S</math>가 존재한다. <math>\lim_{n\to \infty}S_n=S</math>이면 임의의 <math>\varepsilon > 0 </math>에 대해 [[자연수]] <math>N</math>이 존재해 임의의 자연수 <math>n > N</math>에 대해 <math>\|S_n - S\| < \varepsilon</math>이다. 여기서 임의의 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 <math>N+1</math>을 설정하면 임의의 <math>n > N+1</math>에 대해 <math>n-1 > N</math>이므로 <math>\|S_{n-1} - S\|<\varepsilon</math>이다. 그러므로 <math>\lim_{n\to \infty}S_{n-1}=S</math>이다. <math>a_n=S_n-S_{n-1}</math>이고 <math>(S_n),(S_{n-1})</math>이 모두 수렴하므로 수열의 극한의 기본 성질에 의해', 7 => ': <math>\begin{align}', 8 => '\lim_{n\to\infty}a_n &= \lim_{n\to\infty} (S_n - S_{n-1})\\', 9 => '&=\lim_{n\to \infty} S_n - \lim_{n\to \infty}S_{n-1}\\', 10 => '&= S- S\\', 11 => '&=0', 12 => '\end{align}</math>', 13 => '으로 원하는 결과를 얻는다.', 14 => '== 예시 ==', 15 => '일반항 판정법을 이용해 다음 급수가 발산함을 보일 수 있다.', 16 => '* <math>\sum_{n=1}^{\infty}\cos n</math>', 17 => '* <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^2+1}</math>', 18 => '* <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-2)^n</math>', 19 => '* <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n</math>', 20 => false, 21 => '일반항 판정법의 역은 성립하지 않는다. 다시 말해 <math>\lim_{n\to \infty}a_n = 0</math>이라고 해서 <math>\sum_{i=1}^{\infty}a_n</math>가 수렴하는 것은 아니다. 예를 들어,', 22 => '* <math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0</math>이지만 <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}</math>은 발산한다.' ]
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+{{학술}}
+{{토막글}}
+'''일반항 판정법(limit term test, term test)'''는 일반항을 이용해 [[수열]]의 [[수열의 극한|수렴]] 여부를 판정하는 정리이다.
+== 진술 ==
+수열 <math>(a_n)</math>에 대해 <math>\sum_{i=1}^{\infty}a_n</math>이 수렴하면 <math>\lim_{n\to \infty}a_n = 0</math>이다.
+== 증명 ==
+<math>\sum_{i=1}^{\infty}a_n</math>이 수렴한다고 가정하자. 그러면 <math>\sum_{i=1}^{\infty}a_n</math>의 부분합 <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i</math>에 대해 <math>\lim_{n\to \infty}S_n = S</math>인 <math>S</math>가 존재한다. <math>\lim_{n\to \infty}S_n=S</math>이면 임의의 <math>\varepsilon > 0 </math>에 대해 [[자연수]] <math>N</math>이 존재해 임의의 자연수 <math>n > N</math>에 대해 <math>|S_n - S| < \varepsilon</math>이다. 여기서 임의의 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 <math>N+1</math>을 설정하면 임의의 <math>n > N+1</math>에 대해 <math>n-1 > N</math>이므로 <math>|S_{n-1} - S|<\varepsilon</math>이다. 그러므로 <math>\lim_{n\to \infty}S_{n-1}=S</math>이다. <math>a_n=S_n-S_{n-1}</math>이고 <math>(S_n),(S_{n-1})</math>이 모두 수렴하므로 수열의 극한의 기본 성질에 의해
+: <math>\begin{align}
+\lim_{n\to\infty}a_n &= \lim_{n\to\infty} (S_n - S_{n-1})\\
+&=\lim_{n\to \infty} S_n - \lim_{n\to \infty}S_{n-1}\\
+&= S- S\\
+&=0
+\end{align}</math>
+으로 원하는 결과를 얻는다.
+== 예시 ==
+일반항 판정법을 이용해 다음 급수가 발산함을 보일 수 있다.
+* <math>\sum_{n=1}^{\infty}\cos n</math>
+* <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^2+1}</math>
+* <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-2)^n</math>
+* <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n</math>
+일반항 판정법의 역은 성립하지 않는다. 다시 말해 <math>\lim_{n\to \infty}a_n = 0</math>이라고 해서 <math>\sum_{i=1}^{\infty}a_n</math>가 수렴하는 것은 아니다. 예를 들어,
+* <math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0</math>이지만 <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}</math>은 발산한다.