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{{토막글}}
== 정의 ==
복소함수 <math>f</math>가 <math>0<|z-z_0|< R</math>에서 [[해석함수|해석적]]이면 <math>f</math>의 [[로랑 급수]]
: <math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n</math>
이 존재한다. 이때 <math>a_{-1}</math>을 <math>z_0</math>에서 <math>f</math>의 '''유수(Residue)'''라 하고, <math>\operatorname{Res}(f;z_0)</math>이라 한다.
유수를 다른 방법으로 정의하기도 한다. 단순닫혀 있고 양의 방향인 경로 <math>C</math>가 주어졌을 때, 복소함수 <math>f</math>가 <math>C</math> 위와 <math>z_0</math>을 제외한 내부에서 해석적이고 <math>z_0</math>이 <math>f</math>의 고립특이점이면,
: <math>\operatorname{Res}(f;z_0)=\int_C f(z)dz</math>
을 <math>z_0</math>에서 <math>f</math>의 유수라고 한다.
== 계산 ==
<math>z=z_0</math>에서 단순극을 가질 때
: <math>\operatorname{Res}(f;z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>
이다. 더욱이 극점의 계수가 <math>n</math>일 때
: <math>\operatorname{Res}(f;z_0)=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to z_0}\left(\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}(z-z_0)^n f(z)\right)</math>
이 성립한다.
=== 예제 ===
* 문제: 양의 방향인 경로 <math>C</math>에 대해 <math>C:|z|=1</math>일 때, <math>\int_C \frac{e^z}{z^2}dz</math>를 구하시오.
{{글 숨김|제목=Solution|1=
<math>\frac{e^z}{z^2}</math>는 <math>z=0</math>에서 극점을 가지며, 극점의 계수는 2이다. 따라서
: <math>\begin{align}
\operatorname{Res}f(f;0)&=\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}z^2 \frac{e^z}{z^2}\\
&=\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}e^z\\
&=\lim_{z\to 0}e^z\\
&=1
\end{align}</math>
이므로
: <math>\begin{align}
\int_C \frac{e^z}{z^2}dz&=2\pi i \cdot 1\\
&=2\pi i
\end{align}</math>
이다.
}}
== 유수 정리 ==
{{참조|유수 정리}}
: <math>\int_C f(z)dz = 2\pi i \sum_{j=1}^n \operatorname{Res}(f;z_j)</math>' |
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+{{학술}}
+{{토막글}}
+== 정의 ==
+복소함수 <math>f</math>가 <math>0<|z-z_0|< R</math>에서 [[해석함수|해석적]]이면 <math>f</math>의 [[로랑 급수]]
+: <math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n</math>
+이 존재한다. 이때 <math>a_{-1}</math>을 <math>z_0</math>에서 <math>f</math>의 '''유수(Residue)'''라 하고, <math>\operatorname{Res}(f;z_0)</math>이라 한다.
+유수를 다른 방법으로 정의하기도 한다. 단순닫혀 있고 양의 방향인 경로 <math>C</math>가 주어졌을 때, 복소함수 <math>f</math>가 <math>C</math> 위와 <math>z_0</math>을 제외한 내부에서 해석적이고 <math>z_0</math>이 <math>f</math>의 고립특이점이면,
+: <math>\operatorname{Res}(f;z_0)=\int_C f(z)dz</math>
+을 <math>z_0</math>에서 <math>f</math>의 유수라고 한다.
+== 계산 ==
+<math>z=z_0</math>에서 단순극을 가질 때
+: <math>\operatorname{Res}(f;z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>
+이다. 더욱이 극점의 계수가 <math>n</math>일 때
+: <math>\operatorname{Res}(f;z_0)=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to z_0}\left(\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}(z-z_0)^n f(z)\right)</math>
+이 성립한다.
+=== 예제 ===
+* 문제: 양의 방향인 경로 <math>C</math>에 대해 <math>C:|z|=1</math>일 때, <math>\int_C \frac{e^z}{z^2}dz</math>를 구하시오.
+{{글 숨김|제목=Solution|1=
+<math>\frac{e^z}{z^2}</math>는 <math>z=0</math>에서 극점을 가지며, 극점의 계수는 2이다. 따라서
+: <math>\begin{align}
+\operatorname{Res}f(f;0)&=\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}z^2 \frac{e^z}{z^2}\\
+&=\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}e^z\\
+&=\lim_{z\to 0}e^z\\
+&=1
+\end{align}</math>
+이므로
+: <math>\begin{align}
+\int_C \frac{e^z}{z^2}dz&=2\pi i \cdot 1\\
+&=2\pi i
+\end{align}</math>
+이다.
+}}
+== 유수 정리 ==
+{{참조|유수 정리}}
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+: <math>\int_C f(z)dz = 2\pi i \sum_{j=1}^n \operatorname{Res}(f;z_j)</math>
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6 => '유수를 다른 방법으로 정의하기도 한다. 단순닫혀 있고 양의 방향인 경로 <math>C</math>가 주어졌을 때, 복소함수 <math>f</math>가 <math>C</math> 위와 <math>z_0</math>을 제외한 내부에서 해석적이고 <math>z_0</math>이 <math>f</math>의 고립특이점이면,',
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8 => '을 <math>z_0</math>에서 <math>f</math>의 유수라고 한다.',
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12 => '이다. 더욱이 극점의 계수가 <math>n</math>일 때',
13 => ': <math>\operatorname{Res}(f;z_0)=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to z_0}\left(\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}(z-z_0)^n f(z)\right)</math>',
14 => '이 성립한다.',
15 => '=== 예제 ===',
16 => '* 문제: 양의 방향인 경로 <math>C</math>에 대해 <math>C:|z|=1</math>일 때, <math>\int_C \frac{e^z}{z^2}dz</math>를 구하시오.',
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