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{{토막글}}
== 정의 ==
\(p\)가 3 이상의 [[소수]]이고 \(a\)가 \((a,p)=1\)인 [[정수]]일 때, 다음 기호
: <math>\left(\frac{a}{p}\right)=\begin{cases}
1,& (\exists x\in \mathbb{Z})[x^2 = a]\\
-1,& (\forall x\in\mathbb{Z})[x^2\ne a]
\end{cases}</math>
를 '''르장드르 기호(Legendre symbol)'''라고 한다. 즉, \(a\)가 법 \(p\)에 대한 [[이차잉여]]이면 \(\left(\frac{a}{p}\right)=1\)이고 그렇지 않으면 \(\left(\frac{a}{p}\right)=-1\)이다.
== 성질 ==
\(p\)가 3 이상의 소수이고 정수 \(a,b\)에 대해 \((a,p)=(b,p)=1\)일 때,
* \(\left(\frac{a^2}{p}\right)=1\)
\(x=a\)는 합동식 \(x^2\equiv a^2\pmod p\)의 해이므로 자명하다.
* \(a\equiv b \pmod p\)이면 \(\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right)\)이다.
\(a\equiv b \pmod p\)라고 가정하면 두 합동식 \(x^2\equiv a\pmod p\)와 \(x^2\equiv b\pmod p\)는 동치이므로 원하는 결론을 얻는다.
* \(\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod p\)
[[오일러의 규준]]에 의해 성립한다.
* \(\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)\)
[[지수법칙]]에 의해
: <math>\begin{align}
\left(\frac{ab}{p}\right)&=(ab)^{\frac{p-1}{2}}\\
&=a^{\frac{p-1}{2}}b^{\frac{p-1}{2}}\\
&=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)
\end{align}</math>
이므로 원하는 결론을 얻는다.
* <math>\left(\frac{-1}{p}\right)=\begin{cases}
1,&\text{if }p\equiv 1\pmod 4\\
-1,&\text{if }p\equiv -1\pmod 4
\end{cases}</math>
* <math>\left(\frac{2}{p}\right)=\begin{cases}
1,&\text{if }p\equiv \pm 1\pmod 8\\
-1,&\text{if }p\equiv \pm 3\pmod 8
\end{cases}</math>
* \(\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}\) ([[이차상반성]])' |
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+{{학술}}
+{{토막글}}
+== 정의 ==
+\(p\)가 3 이상의 [[소수]]이고 \(a\)가 \((a,p)=1\)인 [[정수]]일 때, 다음 기호
+: <math>\left(\frac{a}{p}\right)=\begin{cases}
+1,& (\exists x\in \mathbb{Z})[x^2 = a]\\
+-1,& (\forall x\in\mathbb{Z})[x^2\ne a]
+\end{cases}</math>
+를 '''르장드르 기호(Legendre symbol)'''라고 한다. 즉, \(a\)가 법 \(p\)에 대한 [[이차잉여]]이면 \(\left(\frac{a}{p}\right)=1\)이고 그렇지 않으면 \(\left(\frac{a}{p}\right)=-1\)이다.
+== 성질 ==
+\(p\)가 3 이상의 소수이고 정수 \(a,b\)에 대해 \((a,p)=(b,p)=1\)일 때,
+* \(\left(\frac{a^2}{p}\right)=1\)
+\(x=a\)는 합동식 \(x^2\equiv a^2\pmod p\)의 해이므로 자명하다.
+* \(a\equiv b \pmod p\)이면 \(\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right)\)이다.
+\(a\equiv b \pmod p\)라고 가정하면 두 합동식 \(x^2\equiv a\pmod p\)와 \(x^2\equiv b\pmod p\)는 동치이므로 원하는 결론을 얻는다.
+* \(\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod p\)
+[[오일러의 규준]]에 의해 성립한다.
+* \(\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)\)
+[[지수법칙]]에 의해
+: <math>\begin{align}
+\left(\frac{ab}{p}\right)&=(ab)^{\frac{p-1}{2}}\\
+&=a^{\frac{p-1}{2}}b^{\frac{p-1}{2}}\\
+&=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)
+\end{align}</math>
+이므로 원하는 결론을 얻는다.
+* <math>\left(\frac{-1}{p}\right)=\begin{cases}
+1,&\text{if }p\equiv 1\pmod 4\\
+-1,&\text{if }p\equiv -1\pmod 4
+\end{cases}</math>
+* <math>\left(\frac{2}{p}\right)=\begin{cases}
+1,&\text{if }p\equiv \pm 1\pmod 8\\
+-1,&\text{if }p\equiv \pm 3\pmod 8
+\end{cases}</math>
+* \(\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}\) ([[이차상반성]])
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16 => '[[오일러의 규준]]에 의해 성립한다.',
17 => '* \(\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)\)',
18 => '[[지수법칙]]에 의해',
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