카소라티-바이어슈트라스 정리

카소라티-바이어슈트라스 정리(Casorati-Weierstrass theorem)는 복소함수의 본질적 특이점 근처에서 함수의 행동을 설명하는 정리로, 펠리체 카소라티와 카를 바이어슈트라스의 이름이 붙어 있다.

진술

복소함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ D(z_0,r)\setminus \{z_0\} }[/math]에서 해석적이고 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]는 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 본질적 특이점(essential singularity)이라 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ f(D(z_0,r)\setminus \{z_0\}) }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]에서 조밀(dense)하다.

증명

[math]\displaystyle{ f(D(z_0,r)\setminus \{z_0\}) }[/math]가 [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]에서 조밀하지 않다고 가정하자. [math]\displaystyle{ w\in\mathbb{C}\setminus \overline{f(D(z_0,r)\setminus \{z_0\})} }[/math]라 하면 [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math]이 존재해 임의의 [math]\displaystyle{ z\in D(z_0,r)\setminus \{z_0\} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ |f(z)-w|\gt \delta }[/math]이다. 함수 [math]\displaystyle{ g:D(z_0,r)\setminus \{z_0\}\to \mathbb{C} }[/math]를

[math]\displaystyle{ g(z)=\dfrac{1}{f(z)-w} }[/math]

로 정의하자. 그러면 [math]\displaystyle{ g }[/math]는 정칙이고 유계이므로 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]는 리만의 정리에 따른 제거가능한 특이점(removable singularity)이다. [math]\displaystyle{ g(z_0)\ne 0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f(z)-w }[/math]가 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]에서 해석적이어서 모순이고, [math]\displaystyle{ g(z_0)=0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f(z)-w }[/math]가 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]에서 극점(pole)을 가져서 모순이 된다. 따라서 [math]\displaystyle{ f(D(z_0,r)\setminus \{z_0\}) }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]에서 조밀하다.

같이 보기

• 피카르 정리: 피카르의 대정리(Picard's great theorem)는 카소라티-바이어슈트라스 정리보다 더 강력한 결론을 보인다.