직교행렬

정의

실수를 성분으로 가지는 [math]\displaystyle{ n }[/math]차 정사각행렬 [math]\displaystyle{ A }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ A^T A = A A^T=I_n }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 직교행렬(orthogonal matrix)이라고 한다.

예시

• [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & -2 & 2\\ 2 & -1 & -2\\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} }[/math]

성질

직교행렬은 유니타리행렬이므로 유니타리행렬의 성질을 그대로 가진다. 직교행렬 [math]\displaystyle{ A }[/math]에 대해,

• [math]\displaystyle{ \det A =\pm 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \det A = \det A^T }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ \begin{align} 1&=\det I_n\\ &=\det (AA^T)\\ &=(\det A) (\det A^T)\\ &=(\det A)^2 \end{align} }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ \det A }[/math]는 실수이므로 원하는 결론을 얻는다.

• [math]\displaystyle{ A^T }[/math]는 직교행렬이다.

[math]\displaystyle{ (A^T)^T=A }[/math]이므로, 직교행렬의 정의에 의해 원하는 결론을 얻는다.

• [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math]는 직교행렬이다.

[math]\displaystyle{ A^{-1}=A^T }[/math]이므로 원하는 결론을 얻는다.

• [math]\displaystyle{ A }[/math]의 고윳값의 절댓값은 1이다.

[math]\displaystyle{ A }[/math]의 고윳값을 [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]라고 하고 대응하는 고유벡터를 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]라고 하면,

[math]\displaystyle{ A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x} }[/math]

이다. 그러면 켤레전치의 성질에 의해

[math]\displaystyle{ \mathbf{x}^\dagger A^\dagger=\overline{\lambda} \mathbf{x}^\dagger }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ (\mathbf{x}^\dagger A^\dagger)A\mathbf{x}=(\overline{\lambda} \mathbf{x}^\dagger) \lambda \mathbf{x} }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ A }[/math]가 실수를 성분으로 가지므로, [math]\displaystyle{ A^\dagger=A^T }[/math]이어서

[math]\displaystyle{ \mathbf{x}^\dagger\mathbf{x}=|\lambda|^2 \mathbf{x}^\dagger \mathbf{x} }[/math]

이고, 정리하면

[math]\displaystyle{ (|\lambda|^2 -1)\mathbf{x}^\dagger\mathbf{x}=\mathbf{0} }[/math]

이다. 고유벡터의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}^\dagger\mathbf{x}\ne 0 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ |\lambda|^2=1 }[/math]이다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.