일반화된 라이프니츠 규칙(generalized Leibniz rule)은 곱의 미분법을 일반화한 정리이다. [math]\displaystyle{ u, \; v }[/math]가 [math]\displaystyle{ t }[/math]에 대한 [math]\displaystyle{ n }[/math]-차 미분가능 일변수 함수이면 다음이 성립한다:
- [math]\displaystyle{ (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}. }[/math]
더욱 일반적으로, [math]\displaystyle{ t }[/math]에 대한 [math]\displaystyle{ n }[/math]-차 미분가능한 일변수 함수 [math]\displaystyle{ u_1, \cdots, u_\ell }[/math]에 대하여 다음이 성립한다:
- [math]\displaystyle{ \left(\prod_{i=1}^\ell u_i \right)^{(n)} = \sum_{\sum_j k_j = n} \binom{n}{k_1, \cdots, k_\ell} \prod_{i=1}^\ell {u_i}^{(k_i)}. }[/math]
증명[편집 | 원본 편집]
증명은 귀납법으로써 한다. [math]\displaystyle{ n=0 }[/math]일 때엔 당연히 성립하며([math]\displaystyle{ \because \binom 0 {0, \cdots, 0} = 1 }[/math]), [math]\displaystyle{ n=m }[/math]일 때를 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ n=m+1 }[/math]일 때,
- [math]\displaystyle{ \begin{aligned} \left(\prod_{i=1}^\ell u_i \right)^{(m+1)} &= \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \left(\prod_{i=1}^\ell u_i \right)^{(m)} \\ &= \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\sum_{\sum_j k_j = m} \binom{m}{k_1, \cdots, k_\ell} \prod_{i=1}^\ell {u_i}^{(k_i)} \\ &= \sum_{\sum_j k_j = m} \frac{m!}{k_1 ! \cdots k_\ell !} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \prod_{i=1}^\ell {u_i}^{(k_i)} \\ &= \sum_{\sum_j k_j = m} \binom{m}{k_1, \cdots, k_\ell} \sum_{i=1}^\ell {u_i}^{(k_i + 1)} \prod_{1\le j \le \ell, \; j\ne i} {u_j} ^ {(k_j)} \\ &= \sum_{i=1}^\ell \sum_{\sum_j k_j = m} \binom{m}{k_1, \cdots, k_\ell} {u_i}^{(k_i + 1)} \prod_{1\le j \le \ell, \; j\ne i} {u_j} ^ {(k_j)} \\ &= \sum_{i=1}^\ell \sum_{\sum_{j\ne i} k_j + (k_i + 1) = m+1} \binom{m}{k_1, \cdots, k_\ell} {u_i}^{(k_i + 1)} \prod_{1\le j \le \ell, \; j\ne i} {u_j} ^ {(k_j)} \\ &= \sum_{i=1}^\ell \sum_{\sum_{j} {\hat k_j} = m + 1} \binom{m}{\hat k_1, \cdots, \hat k_{i-1}, \hat k_i - 1, \hat k_{i+1}, \cdots, \hat k_\ell} \prod_{j=1}^\ell {u_j} ^ {(\hat k_j)} \\ &= \sum_{\sum_{j} {\hat k_j} = m + 1} \sum_{i=1}^\ell \binom{m}{\hat k_1, \cdots, \hat k_{i-1}, \hat k_i - 1, \hat k_{i+1}, \cdots, \hat k_\ell} \prod_{j=1}^\ell {u_j} ^ {(\hat k_j)} \\ &= \sum_{\sum_{j} {\hat k_j} = m + 1} \binom{m+1}{\hat k_1, \cdots, \hat k_\ell} \prod_{j=1}^\ell {u_j} ^ {(\hat k_j)}.\end{aligned} }[/math]
(where [math]\displaystyle{ \hat k_j = k_j \text{ when }j\ne i, \; \hat k_i = k_i + 1 }[/math])으로 성립한다. 마지막 부분은 다항계수 항등식으로 자명하다.
다변수 미적분학으로의 일반화[편집 | 원본 편집]
다변수 함수의 경우에는 미분 연산자를 편미분 연산자로만 바꾸면 된다. 즉, [math]\displaystyle{ \partial^\alpha (fg) = \sum_{0\le \beta \le \alpha} \binom \alpha \beta (\partial ^\beta f)(\partial ^{\alpha - \beta} g). }[/math] (양변에 [math]\displaystyle{ / \partial ^\alpha t }[/math]는 생략.)