일

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힘을 가해 물체를 움직이는 것을 일컫는 말. 일의 양은 물체에 가해진 힘을 물체가 움직인 변위의 힘의 방향 성분에 대해서, 또는 물체가 움직인 변위를 물체에 가해진 힘의 그 변위 방향 성분으로 적분하는 것으로 구해진다.

일 개념이 유도된 이유

우리는 힘 문서에서 아리스토텔레스의 잘못된 운동관을 논파하고, 뉴턴이 도입한 힘의 개념을 통해 물체의 운동을 기술하는 방법을 살펴보았다. 하지만 힘은 어느 특정한 순간에 대한 물리량이기 때문에 어떤 일련의 상호작용이 이뤄지고 나서의 상황을 서술하기 위해서는 그 상호작용에 걸린 시간을 알아야 하는 불편함이 있었다. 이를 해소하기 위해 충격량이란 물리량을 도입하였지만 이것이 힘과 시간을 각각 구해서 물체의 운동을 설명하는 것보다 더 유용할 상황은 우리가 상호작용의 결과를 이미 아는 상황에서 그 과정에 대한 설명을 간략화하기 위한 상황 뿐이다.

그렇다면 물체끼리의 상호작용의 결과를 알기 위해서는 반드시 그 상호작용에 걸린 시간을 알아야 하는 것인가? 그런데 낙하 운동의 예를 생각해 보면, 반드시 그런 것만은 아닌 것 같다.

중력을 이용해 - 정확히는 중력에 의해 떨어지는 무거운 물체의 운동을 이용해 - 말뚝을 박는 상황을 생각해 보자. 여기서 말뚝이 물체에 의해 받는 힘의 크기는, 물체가 말뚝 위로 떨어질 당시의 물체의 운동량과, 그 때부터 물체가 운동을 멈출 때까지 걸리는 시간에 의해서 결정될 것이다. 물론 이들 물리량을 알면 이 물체에 의해 말뚝이 얼마만큼 박힐지를 계산할 수 있다. 하지만 직관적으로 우리는 물체의 무게, 즉 물체에 작용하는 중력의 크기와 물체를 떨어뜨린 높이, 즉 물체가 낙하운동을 한 거리를 알면 된다고 느낄 것이다. 주변에 뉴턴의 물리학을 배우지 않은 사람이 있으면 이 질문을 직접 물어보고 대답을 들어 보자.

여기서 우리는 우리의 논의의 답에 대한 힌트를 얻은 셈이다. 우리의 직관은, 물체끼리의 상호작용에 걸리는 시간을 알지 않고도 물체의 상호작용을 서술할 수 있는 방법이 있다고 우리에게 말하고 있는 것이다.

위에서 본 것과 같은 상황을 물리학에서는 일을 했다고 표현한다. 이 '일'이란 물리량의 크기는 W=F·s로 정의한다. 이 연산은 벡터의 연산 중 하나인 내적으로, 간단히 설명하면 이 연산에 참여하는 벡터량 둘 중 하나의 크기와, 나머지 한 벡터의 아까 그 벡터로의 정사영의 크기의 곱으로 정의된다. 일의 크기를 이러한 연산을 통해서 구하는 이유는 간단한데, 힘은 자신이 작용한 방향의 성분에 대해서만 물체의 운동에 영향을 줄 수 있기 때문이다. 간단하게, 일의 크기는 (물체가 이동한 거리)*(매 순간마다 물체가 이동한 방향으로 작용한 힘의 성분의 크기) 혹은 (물체에 작용한 힘의 크기)*(매 순간마다 물체에 작용한 힘의 방향으로의 물체의 변위) 라고 외워 두자.

그러면 일의 방향은 어디로 정해야 할까? 결론부터 말하면, 일은 방향이 없다. 즉 스칼라량이다. 내적이란 연산의 성질에서 바로 유도되는 것이지만, 일의 방향을 따로 정의하자고 하면 못할 이유는 없다. 그런데도 일의 방향을 정하지 않고 내버려 둔 이유는 따로 있다.

일의 방향을 정한다면 어느 방향으로 정해야 할 것인지를 생각해 보자. 물체끼리의 상호작용을 표현하는 물리량이니 힘의 방향을 써야 할 것도 같고, 물체의 운동에 대해서 서술하는 물리량이니 변위의 방향을 써야 할 것도 가탇. 그런데 하나의 물리량의 속성에 대한 약속은 그 물리량 전체를 아울러서 동일하게 정해져야 하는데, 힘의 방향과 변위의 방향 중 어느 것이 일의 방향을 기술함에 있어 더 우선하는지는 일을 서술하는 입장에 따라서 일관적으로 정할 수가 없다. 그렇다고 일의 방향을 두 물리량 사이의 어떤 공식에 의해 정하고 싶지는 않다. 物理學에서 쓰이는 개념에, 物에서 직관적으로 알 수 있는 것 이상의 개념을 도입하는 것은 주객전도인 것이다.

이 때문에 물리학에서는 일의 방향을 정의하지 않고 있는 것이다. 대부분의 책에서는 단순히 '일은 힘과 변위의 내적이므로 방향을 갖지 않는다'라고 쓰고 있는데, 이 설명에 석연치 않았던 사람들이 많을 것으로 안다. 우리는 物理를 알기 위해서 물리학을 배운다. 物理에 바탕을 두지 않고 수학적인 가상의 개념에 바탕을 두어야만 하는 설명은 물리학의 개념에 대한 설명이 될 수가 없다.

일-에너지 정리의 유도

강체에 대해서라면 물체에 가해진 일의 양은 물체가 가지고 있는 역학적 에너지의 변화량과 같다. 이는 일-에너지 정리라고 해서, 고등학교 물리 Ⅰ에서 핵심적으로 가르치는 개념 중 하나다.

운동량 문서에서 우리는 물체의 운동 상태는 mv로 표현할 수 있음을 알았고, 물체의 상호작용이란 이 물리량을 변화시키는 과정임도 읽었다. 즉, '하나의 일련의 상호작용의 결과'는 "mv 즉 운동벡터"의 변화량으로 표현할 수 있는 것이다.

어떤 상황에 대한 일반적인 설명을 알고 싶을 때는, 자신이 알고자 하는 상황의 가장 간단한 경우로부터 시작해서 점점 복잡한 경우로 나아가는 것이 도움이 될 경우가 많다. 이 경우엔 물체에 힘이 일정하게 작용하는 것이 가장 간단한 상황일 것이므로, 우리도 한 물체에 일정한 힘이 작용하는 경우에서부터 생각의 나래를 펴기로 한다.

(그래프) 여기서 물체의 힘 방향 변위는 그래프의 면적에 의해 S1 = 1/2(v1 + v1')t 로 나타낼 수 있다. 여기서 우리의 목적은 시간을 모르는 상태에서 물체의 상호작용의 결과를 아는 것이므로, 시간의 t를 다른 물리량으로, 가능하면 우리가 앞에서 살펴본 것과 같이 힘의 F에 관련된 물리량으로 표현해 보고 싶다.

그런데 우리는 앞에서 힘이 일정한 상황을 가정했다. 힘이 일정한 상황이라면 뉴턴의 제2 법칙에 의해 가속도의 크기도 일정하므로, 위의 식에서 v1'는 v1' = v1 + at로, 여기서 가속도인 a를 우리가 관심에 두고 있는 힘 F에 관한 물리량으로 변환시키면 v1' = v1 + (F/m)t 로 나타낼 수 있다.

이 식을 t에 대해 정리하면 t = {m(v1 + v1')}/F 와 같이 나타낼 수 있다. 이 식을 위의 S에 대한 식에 대입해 보자. S1 = {1/2m(v'12 - v12)}/F. 그런데 우리는 위에서, '힘의 크기와 거리'가 물체끼리의 상호작용의 결과를 기술할 열쇠일 것이라고 짐작했다. 이 식만으로도 우리의 앞에서의 예상이 옳았음이 보이긴 하지만, 서로 묶어서 생각할 물리량은 하나의 변으로 몰아두는 것이 편하다. 그에 따라서 힘의 F를 좌변으로 옮겨 보도록 한다. F·S1 = 1/2m(v'12 - v12).

마지막으로 얻어낸 이 식을 보자. 우리는 한 물체에 작용한 힘과, 그 물체가 그 방향으로 이동한 거리만 알면 그 상호작용의 결과를 예측할 수 있음을 방금 증명한 것이다.

물체에 힘이 일정하지 않게 작용하는 경우에 대해서도 똑같은 과정으로 유도할 수 있다. (그림) 다음과 같이 이 그래프를 시간축에 대해 무한히 많은 수로 등분하면, 각각의 등분된 부부느이 넓이는 그 부분의 처음 점과 끝점을 직선으로 이은 사다리꼴의 넓이로 수렴한다. 이들 사다리꼴의 넓이의 총합을 구하면, (추가바람)

일-에너지 정리의 활용

이제 우리는 일이라는 물리량을 도입했고, 그에 의해 힘이 작용한 시간을 모를 때도 힘의 크기와 그 방향의 변위의 크기만 알면 물체의 상호작용의 결과를 예측할 수 있음을 알게 되었다. 그렇다면, 이 '일'이란 현상을 유발하는 요인은 무엇인가? 간단하게 힘이라고 할 수도 있겠지만, 힘과 변위를 모르는 상황에서도 이 현상을 기술할 방법은 없는 것인가? 우리가 아까 다루었던, 말뚝을 박는 문제로 돌아가 보면, 망치에 작용하는 힘과 망치가 움직인 거리를 일일이 재 가면서 망치를 휘두르는 사람은 없다. (물론 앞에서 다루었던, 중력의 힘을 이용해서 말뚝을 박는 상황이라면 말뚝을 박는 물체의 무게와 물체를 떨어뜨리는 높이를 정확히 재겠지만, 일반적으로 '말뚝을 박는다'고 할 때는 그 정도까지 세심하게 신경쓸 필요는 없다는 의미이다.)

우리가 일이라는 물리량을 정의할 때 사용했던 계산식을 되짚어 보자. FS=1/2m(v'2-v2)라면, 1/2m(v'2-v2)만큼 운동량이 변하는 상호작용이 있었을 때 그것이 FS만큼의 효과를 낸다고 추정하는 것은 자연스러워 보인다.

물리학에서는 '일을 할 수 있는 능력'을 에너지라고 부르는데, 이 경우는 물체가 자신의 운동을 이용해서 일을 하는 것이므로 우리가 앞에서 구한 것은 운동 에너지라고 부른다. 운동 에너지의 일반적인 공식은 W=1/2mv2로 통용되는데, 이것은 한 물체가 자신의 모둔 '운동 에너지'를 잃어버릴 때까지 할 수 있는 일의 양을 표현한 것이다.

지금까지 한 이야기를 다시 반복하는 것에 지나지 않지만, '어떤 물체에 작용하는 알짜힘이 한 일의 양은 그 물체의 운동에너지의 변화량과 같다'라는 정리가 물리학에 존재한다. 이를 일-에너지 정리라고 부른다.

역학적 에너지 : 운동 에너지 + 위치 에너지

다시 말뚝 이야기로 돌아가 보자. 낙하하는 물체에 다른 힘이 작용하지 않는다면, 그 물체는 필연적으로 말뚝을 박는 일을 하게 된다. 따라서 이 물체의 맨 처음 위치가 이 물체에 에너지를 부여한다고 봐도 틀리지 않을 것이다.

한편, 용수철 끝에 물체를 매달아 둔 경우를 생각해 봐도, 이 경우 역시 다른 힘이 작용하지 않는다면 필연적으로 자신이 받은 운동 에너지만큼의 일을 하게 될 것이다. 이 물체 역시, 용수철을 압축시켰다는 자신의 위치가 이 물체에게 에너지를 부여했다고 봐도 틀리지 않을 것이다.

그렇기 때문에, 이런 것도 에너지라고 부른다. 자신의 위치가 일을 하게 만든다는 개념에서 위치 에너지 혹은 일을 할 수 있는 능력이 상황 속에 잠재되어 있다는 관점에서 퍼텐셜 에너지라는 개념으로 부른다.

다른 경로를 통해서 에너지를 얻거나 잃지 않는다면, 어떤 계 안에서의 위치 에너지와 운동 에너지의 합은 항상 일정하다. 말뚝의 예로 돌아가면, 물체를 맨 처음 떨어뜨린 그 곳에서 물체가 떨어지기 시작한 것으로 봐도, 물체가 어느 정도 낙하했을 시점의 어느 곳에서 물체가 운동을 시작한 것으로 봐도, 결국 말뚝이 박힌 깊이는 동일한 것이다. (그림) 이 두 에너지의 합을 역학적 에너지라고 부른다.

물론 당연하게도 현실에서는 역학적 에너지가 보존되는 경우보다 보존되지 않는 경우가 훨씬 더 많다. 물체가 바닥으로 떨어질 때까지 다른 힘을 하나도 받지 않는다는 가정이 얼마나 비현실적인 가정인가? 하지만, 어떤 계에서 절대로 변하지 않는 무엇인가가 있다고 가정하면 현상을 서술하기가 매우 편해진다고 앞에서 언급했을 것이다. 그 때문에 역학적 에너지라는 개념을 도입한 것이다.

사실, 역학적 에너지의 개념을 사용해서 현상을 서술하는 것이 힘을 사용하는 것보다 편리한 이유가 또 하나가 있다. 물리학을 하는 사람들은 흔히들 우리는 에너지를 어떤 물체가 '가지고' 있는 물리량이라고 유추해서 생각한다. A물체가 B물체에게, 자신이 가지고 있던 에너지를 사용해서 일을 했다는 것이다. 힘을 이용해서 물체의 상태를 서술하는 경우엔, 두 물체에 작용하는 힘은 두 물체 모두의 상태에 의해 결정되었다. ('서로의' 운동벡터의 차이가 커야 서로의 운동을 더 많이 변화시킬 수 있었던 것이다) 그런데 한 물체의 에너지는 자기 자신의 상태와, 공간상에서의 자신의 위치에 의해서만 결정된다. 일을 받는 물체의 상태는 신경쓸 필요가 없는 것이다.