이항정리

Binomial Theorem

개요

이항정리는 보통 조합을 배운 뒤 바로 배우는 내용으로서, [math]\displaystyle{ \left(a+b\right)^n }[/math]의 일반항을 계산할 때 쓰이는 정리이다. 예를 들어, [math]\displaystyle{ \left(a+b\right)^3 }[/math]의 전개식에서 [math]\displaystyle{ ab^2 }[/math]의 계수를 찾고 싶다고 하자. [math]\displaystyle{ \left(a+b\right)^3 }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right) }[/math]로 쓸 수 있고, 여기서 [math]\displaystyle{ ab^2 }[/math]의 계수는 전개시 각 항에서 순서에 상관 없이 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 한번, [math]\displaystyle{ b }[/math]를 두 번 뽑은 경우의 수와 같다. 즉, 구하고자 하는 계수는 [math]\displaystyle{ \binom{3}{1}=3 }[/math]. 일반적인 경우는 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ n }[/math]이 양의 정수일 때, [math]\displaystyle{ \left(a+b\right)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2+\cdots+\binom{n}{r}a^{n-r}b^r+\cdots+\binom{n}{n}b^n }[/math]이다. 여기서 [math]\displaystyle{ \binom{n}{r}a^{n-r}b^r }[/math]를 일반항, [math]\displaystyle{ \binom{n}{r} }[/math]를 이항계수라 한다.
일반항을 써서 간단히 정리하면, [math]\displaystyle{ \left(a+b\right)^n=\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}a^{n-r}b^r }[/math].

위 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]에 다른 항을 넣어 치환해도 식은 성립하므로 이항정리를 사용해 차수가 큰 식의 전개를 빠르게 할 수 있다.

성질

[math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^n }[/math]를 이항정리를 사용해 전개하면, [math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+\cdots+\binom{n}{n}x^n }[/math]이고, 이는 항등식이므로 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 아무 값을 넣어도 성립한다. 아래 성질은 여기서 유도된다.

먼저 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 1을 넣으면,

• [math]\displaystyle{ 2^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots+\binom{n}{n}=\sum_{r=0}^n\binom{n}{r} }[/math]

[math]\displaystyle{ x }[/math]에 -1을 넣으면,

• [math]\displaystyle{ 0=\binom{n}{0}-\binom{n}{1}+\binom{n}{2}-\cdots+\left(-1\right)^n\binom{n}{n}=\sum_{r=0}^n\left(-1\right)^r\binom{n}{r} }[/math]

위 두 식을 더한 뒤 2로 나누면,

• [math]\displaystyle{ 2^{n-1}=\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+\cdots }[/math] (홀수 번째 계수의 합)

처음 두 식을 뺀뒤 2로 나누면,

• [math]\displaystyle{ 2^{n-1}=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\cdots }[/math] (짝수 번째 계수의 합)

또한, [math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^{2n}=\left(1+x\right)^n\left(1+x\right)^n }[/math]이고, 양변의 [math]\displaystyle{ x^n }[/math]의 계수를 비교하면, [math]\displaystyle{ \binom{2n}{n}=\binom{n}{0}\binom{n}{n}+\binom{n}{1}\binom{n}{n-1}+\cdots+\binom{n}{n-1}\binom{n}{1}+\binom{n}{n}\binom{n}{0} }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ \binom{n}{r}=\binom{n}{n-r} }[/math]이므로,

• [math]\displaystyle{ \binom{2n}{n}=\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+\cdots+\binom{n}{n}^2=\sum_{r=0}{n}\binom{n}{r}^2 }[/math]

한편, 파스칼의 정리에서도 여러 성질이 유도된다.

먼저, [math]\displaystyle{ \binom{0}{r}+\binom{1}{r}+\binom{2}{r}+\cdots+\binom{n}{r} }[/math]에서, [math]\displaystyle{ \binom{0}{r+1}=0 }[/math]이므로, 이를 제일 왼쪽에 더해주면, [math]\displaystyle{ \binom{0}{r+1}+\binom{0}{r}+\binom{1}{r}+\binom{2}{r}+\cdots+\binom{n}{r}=\binom{1}{r+1}+\binom{1}{r}+\binom{2}{r}+\cdots+\binom{n}{r}=\binom{2}{r+1}+\binom{2}{r}+\cdots+\binom{n}{r}=\cdots=\binom{n+1}{r+1} }[/math]. 정리하면,

• [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}\binom{k}{r}=\binom{n+1}{r+1} }[/math]

비슷한 방법으로, [math]\displaystyle{ \binom{n}{0}+\binom{n+1}{1}+\binom{n+2}{2}+\cdots+\binom{n+r}{r} }[/math]에서 [math]\displaystyle{ \binom{n}{0}=\binom{n+1}{0} }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \binom{n+1}{0}+\binom{n+1}{1}+\binom{n+2}{2}+\cdots+\binom{n+r}{r}=\binom{n+2}{1}+\binom{n+2}{2}+\cdots+\binom{n+r}{r}=\binom{n+3}{2}+\cdots+\binom{n+r}{r}=\binom{n+r+1}{r} }[/math]. 정리하면,

• [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{r}\binom{n+k}{k}=\binom{n+r+1}{r} }[/math]

마지막으로, [math]\displaystyle{ \binom{n}{0}+\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}+\cdots+\binom{1}{n-1}+\binom{0}{n}=F_n }[/math]라 하면, [math]\displaystyle{ F_0, F_1, \cdots }[/math]은 피보나치 수열을 이룬다. 명백히 [math]\displaystyle{ F_0=1, F_1=1 }[/math]이고, 점화식 [math]\displaystyle{ F_n=F_{n-1}+F_{n-2} }[/math]는 파스칼의 정리를 사용하면 된다.


마지막으로 미분을 사용하여 몇 가지 등식을 유도할 수도 있다.

[math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^n=\binom{n}{o}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+\cdots+\binom{n}{n}x^n }[/math]의 양변을 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 관해 미분하면, [math]\displaystyle{ n\left(1+x\right)^{n-1}=\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}x+3\binom{n}{3}x^2+\cdots+n\binom{n}{n}x^{n-1} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ x=1 }[/math]을 대입하면, [math]\displaystyle{ n2^{n-1}=\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+3\binom{n}{3}+\cdots+n\binom{n}{n} }[/math]이다. 정리하면,

• [math]\displaystyle{ \sum_{r=0}^nr\binom{n}{r}=n2^{n-1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^n=\binom{n}{o}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+\cdots+\binom{n}{n}x^n }[/math]의 양변을 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 관해 두번 미분하면 아래 등식을 얻을 수 있다.

• [math]\displaystyle{ \sum_{r=0}^nr^2\binom{n}{r}=n\left(n+1\right)2^{n-2} }[/math]

위 성질들을 간단히 정리하면 다음과 같다. 당연하지만 외우려들지 말고 유도 과정을 아는 것이 더 중요하다.

1. [math]\displaystyle{ \sum_{r=0}^n\binom{n}{r}=2^n }[/math]

2. [math]\displaystyle{ \sum_{r=0}^n\left(-1\right)^r\binom{n}{r}=0 }[/math]

3. [math]\displaystyle{ \binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\cdots=2^{n-1} }[/math] (홀수 번째 계수의 합)

4. [math]\displaystyle{ \binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\cdots=2^{n-1} }[/math] (짝수 번째 계수의 합)

5. [math]\displaystyle{ \binom{2n}{n}=\sum_{r=0}{n}\binom{n}{r}^2 }[/math]

6. [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}\binom{k}{r}=\binom{n+1}{r+1} }[/math]

7. [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{r}\binom{n+k}{k}=\binom{n+r+1}{r} }[/math]

8. [math]\displaystyle{ \binom{n}{0}+\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}+\cdots+\binom{1}{n-1}+\binom{0}{n}=F_n }[/math]는 피보나치 수열을 이룬다.

9. [math]\displaystyle{ \sum_{r=0}^nr\binom{n}{r}=n2^{n-1} }[/math]

10. [math]\displaystyle{ \sum_{r=0}^nr^2\binom{n}{r}=n\left(n+1\right)2^{n-2} }[/math]

다항정리

이항정리는 항이 2개 일 때 쓴다면, 다항정리는 항이 2개보다 많을 때 쓴다. 정리는 아래와 같다.

[math]\displaystyle{ \left(x_1+x_2+\cdots+x_r\right)^n=\sum\binom{n}{n_1\;n_2\;\cdots\;n_r}{x_1}^{n_1}{x_2}^{n_2}\cdots{x_r}^{n_r} }[/math]

여기서 [math]\displaystyle{ \binom{n}{n_1\;n_2\;\cdots\;n_r} }[/math]는 다항계수라고 하며, [math]\displaystyle{ r }[/math] 개의 물체 중 [math]\displaystyle{ i }[/math]번째 것을 [math]\displaystyle{ n_i }[/math]개 뽑는 가짓 수를 말한다 ([math]\displaystyle{ n_1+n_2+\cdots+n_r=n }[/math]). 더 자세한 것은 다항계수를 참고.

고등학교에선 어려워봤자 항이 3개이며, [math]\displaystyle{ \left(x+y+z\right)^n }[/math]의 전개식에서 [math]\displaystyle{ x^ay^bz^c, \, \left(a+b+c=n\right) }[/math]의 계수가 [math]\displaystyle{ \frac{n!}{a!b!c!} }[/math]임을 알기만 하면 된다. 일반적인 다항계수는 같은 것이 있는 경우의 순열과 같은 방식으로 구하면 된다. 즉, [math]\displaystyle{ \binom{n}{n_1\;n_2\;\cdots\;n_r}=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!} }[/math]

관련 항목

• 경우의 수
• 순열
• 조합
• 파스칼의 삼각형