Triangle[1]
개요[편집 | 원본 편집]
도형에 대해 처음 배우는 초등학교 때 부터 시작해서 대학교까지 주구장창 보게 되는 바로 그 도형. 흔히 기호를 사용하여 [math]\displaystyle{ \triangle }[/math]로 표시한다. 또한 삼각형 기호를 뒤집은 [math]\displaystyle{ \bigtriangledown }[/math]은 역삼각형이라 부른다. 초등학교 때는 그냥 삼각형이 있다 정도만 배우지만, 중학교 때 부터는 여러 가지 삼각형의 성질과 그 증명을 배우게 된다. 만약 이 단계에서 벌써 증명에 염증을 느낀다면 그 학생은 수학과는 거리가 멀다는 사실을 알 수 있다. 고등학교 때에는 해석기하학과 삼각함수를 도입하여 삼각형과 함수에 대해 배우고, 대학에서는 삼각형 같지 않은 삼각형을 비유클리드 기하학에서 접하게 된다. 이런 면에서 보면 수학의 필수 요소라고 할 수 있겠다. 하지만 삼각형은 비단 수학 뿐만 아니라 실생활에서도 자주 접하게 되므로 삼각형에 대한 기본 성질들은 (증명까지는 아니더라도) 알아두는 것이 이롭다.
학교에서 삼각형에 대해 아주 심도있게 다루는 이유는 바로 삼각형이 유클리드 기하학에서 가장 간단한 도형이기 때문.[2] 그래서인지 삼각형에 관련된 수많은 정리들이 있으며, 이를 전부 외우는 것은 KMO를 비롯한 수학 경시대회를 준비하는 데에 필수이다.
용어[편집 | 원본 편집]
- 대변 (대각): 한 각(변)을 기준으로 마주보고 있는 변(각).
- 직각삼각형: 한 각의 크기가 직각(90도)인 삼각형.
- 예각삼각형: 세 각의 크기가 모두 예각(90도 미만)인 삼각형.
- 둔각삼각형: 한 각의 크기가 둔각(90도 초과)인 삼각형.
- 이등변삼각형: 두 변의 길이가 같은 삼각형.
- 직각이등변삼각형: 두 변의 길이가 같고, 한 각의 크기가 직각인 삼각형.
- 정삼각형: 세 변의 길이가 모두 같고, 세 각의 크기도 모두 같은 삼각형.[3]
- 오심: 삼각형의 다섯가지 중심을 말한다. 교육과정에선 외심, 내심, 무게중심의 세 개만을 다루며, 이 외에 수심과 방심이 존재한다.
- 외접원: 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원. 삼각형에 한해 외접원이 필연적으로 존재한다. 이유는 외심 항목 참조.
- 내접원: 삼격형의 세 변과 모두 접하는 원. 삼각형에 한해 내접원이 필연적으로 존재한다. 이유는 내심 항목 참조.
- 삼각비: 삼각함수 참조.
삼각형의 결정 조건[편집 | 원본 편집]
삼각형을 작도하기 위해 필요한 조건을 말한다. 세 가지가 존재한다.[4]
1. SSS: 세 변의 길이가 주어짐.
2. SAS: 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어짐.
3. ASA: 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어짐.
위 세 조건은 삼각형을 하나로 결정하며, 그 외의 경우는 서로 다른 삼각형 여러 개가 존재할 수 있다. 특히, 위 세 조건이 삼각형을 단 하나만 만들기 때문에 두 삼각형이 서로 합동(=congruent)인지 아닌지 판단하는 근거가 된다. 직각삼각형의 경우에는 위 세 조건 이외에 다른 두 조건을 사용할 수도 있는데, 이는 다음과 같다.
1. RHS: 빗변과 다른 한변의 길이가 같고, 한 각이 직각이다.
2. RHA: 빗변의 길이와 직각이 아닌 한 각의 크기가 같고, 나머지 한 각이 직각이다.
위 두 조건이 직각삼각형의 합동 조건이 되는 이유는 바로 이등변삼각형의 성질 때문. 두 조건을 만족하는 직각삼각형 두개를 이어 붙여 증명을 한다.
삼각형의 합동과 비슷한 개념으로 닮음이 존재하는데, 닮음은 완전히 똑같진 않지만 형태가 같은 도형을 나타낸다. 삼각형의 닮음 조건에도 역시 세 가지가 있다.
1. SSS: 세 변의 길이의 비가 같다.
2. SAS: 두 변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같다.
3. AA: 두 각의 크기가 같다.
위 세 가지 중 가장 많이 쓰게 되는 닮음 조건은 바로 AA닮음. 하지만 가끔 어려운 문제는 SSS닮음이나 SAS닮음을 사용하기도 한다.
삼각형의 여러 성질[편집 | 원본 편집]
각 항목을 참조하자.
기타[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ \Delta }[/math]는 그리스어의 대문자 델타로, 삼각형 기호와 생김새가 유사하다. 뜻은 화학에선 가열, 수학이나 물리학에서는 변화량을 뜻한다. 미분방정식에서는 라플라시안 (Laplacian)이라 부르며, 경사(Gradient)의 발산(Divergence)을 구한 것을 나타낸다. [math]\displaystyle{ \nabla }[/math]는 역삼각형 기호와 비슷하게 생겼는데, "델", 혹은 "나블라"라고 읽으며 벡터의 미분을 구할 때 사용한다. 위 기호들 모두 문맥에 따라 어떤 기호인지 구별이 되므로 걱정하지 말자.
관련 항목[편집 | 원본 편집]
각주
다각형 목록 |
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