열용량(heat capacity)은 어떤 물체의 단위 온도를 일정량 올리기 위해 가해야 하는 열이다. 가령 어떤 물체에 [math]\displaystyle{ Q }[/math]만큼의 열을 가해 온도 변화가 [math]\displaystyle{ \Delta T }[/math]인 경우 열용량을 [math]\displaystyle{ C }[/math]라고 하면
- [math]\displaystyle{ C=\frac{Q}{\Delta T} }[/math]
이다. 한편 어떤 물체에 미소량의 온도 [math]\displaystyle{ dT }[/math]를 올리기 위해 가해야 하는 열을 [math]\displaystyle{ dQ }[/math]라고 하면
- [math]\displaystyle{ C=\frac{\delta Q}{dT} }[/math]
이다. 이때 [math]\displaystyle{ \delta Q }[/math]는 불완전미분으로, 열의 흐름이 경로에 의존한다는 것을 나타낸다.
제약조건이 걸렸을 때의 열용량을 생각해볼 수 있다. 부피가 일정할 때 물체의 열용량을 [math]\displaystyle{ C_V }[/math], 압력이 일정할 때 물체의 열용량을 [math]\displaystyle{ C_p }[/math]라 하면
- [math]\displaystyle{ C_V=\left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_V }[/math]
- [math]\displaystyle{ C_p=\left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_p }[/math]
이다.
열역학 제1법칙에서
- [math]\displaystyle{ \delta Q=dU+pdV }[/math]
이고
- [math]\displaystyle{ dU=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV }[/math]
이므로
- [math]\displaystyle{ \delta Q=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT+\left(\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T +p\right)dV }[/math]
이다. 그러므로
- [math]\displaystyle{ C_p=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V +\left(\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T +p\right)\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p }[/math]
를 얻고,
- [math]\displaystyle{ C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V }[/math]
이므로
- [math]\displaystyle{ C_p - C_V=\left(\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T +p\right)\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p }[/math]
를 얻는다.