아이디얼

정의

유사환 R의 부분환 I에 대하여,

• 임의의 [math]\displaystyle{ r\in R, i\in I }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ ri\in I }[/math]를 만족하면 I를 R의 좌아이디얼(left ideal)이라고 한다.
• 임의의 [math]\displaystyle{ r\in R, i\in I }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ ir\in I }[/math]를 만족하면 I를 R의 우아이디얼(right ideal)이라고 한다.
• I가 R의 좌아이디얼이면서 우아이디얼이면, I를 R의 양쪽 아이디얼(two-sided ideal) 또는 그냥 아이디얼(ideal)이라 하고, [math]\displaystyle{ \require{AMSmath}\require{AMSsymbols}I \trianglelefteq R }[/math]로 표기한다.

만약 R이 가환환이라면, 교환법칙이 성립하므로 위 세 정의가 동치가 됨을 알 수 있다. 즉, 예를 들어 좌아이디얼인지만 확인하면 자동으로 아이디얼이 된다.

예시

• [math]\displaystyle{ 0 \trianglelefteq R }[/math], [math]\displaystyle{ R \trianglelefteq R }[/math]
  • R이 나눗셈환이면 아이디얼은 이들 둘밖에 없다. 영이 아닌 아이디얼은 1_R을 포함하게 되기 때문이다.
• f:R → S가 환 준동형사상(ring homomorphism)일 때, [math]\displaystyle{ \operatorname{ker} f \trianglelefteq R }[/math].
• M이 R가군(R‐module)일 때, M의 부분집합 N에 대하여 [math]\displaystyle{ \operatorname{ann} (N) = \{ r \in R \vert rN = 0 \} }[/math]는 R의 아이디얼이 되고, 이를 annihilator ideal이라 한다.
  • K선형사상 T가 주어진 K벡터공간 V를 K[t]가군으로 볼 때, [math]\displaystyle{ \operatorname{ann} (V) }[/math]의 생성자인 유일한 최소 차수의 monic polynomial이 바로 T의 최소다항식(minimal polynomial)이다.
• 정수환 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]의 아이디얼은 [math]\displaystyle{ n \mathbb{Z} }[/math] 꼴밖에 없다. 따라서 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]는 주아이디얼 정역(principle ideal domain)이다.

• 실수를 성분으로 갖는 모든 2차 정사각행렬의 집합 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]은 행렬 연산에 관해 환(행렬환)을 이룬다. 집합 I를 다음과 같이 정의하자.

[math]\displaystyle{ I=\left\{\begin{bmatrix}a & 0 \\ b & 0 \end{bmatrix}:a,b\in\mathbb{R} \right\} }[/math]

그러면 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 부분환이다. 이때 임의의 [math]\displaystyle{ x,y,z,w\in\mathbb{R} }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}x & y\\ z& w\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & 0\\b&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}xa+yb & 0 \\ za+wb & 0\end{bmatrix}\in I }[/math]

이므로 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 좌아이디얼이다. 그러나

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 0\\ 2& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 4\\5&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 4 \\ 6 & 8\end{bmatrix}\not\in I }[/math]

이므로 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 우아이디얼이 아니다. 따라서 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 아이디얼이 아니다.

성질

• [math]\displaystyle{ I }[/math]와 [math]\displaystyle{ J }[/math]가 환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼이면, [math]\displaystyle{ I \cap J }[/math]도 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼이다. 이는 정의에 의해 자명하다.
• [math]\displaystyle{ I }[/math]가 환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 좌아이디얼임과, 좌 [math]\displaystyle{ R }[/math]-가군 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 좌 [math]\displaystyle{ R }[/math]-부분가군이라는 것은 동치이다. 오른쪽도 마찬가지이고, 이것도 정의에 의해 자명하다.

연산

아이디얼 사이에 다음과 같은 연산을 정의할 수 있다.

• [math]\displaystyle{ I }[/math]와 [math]\displaystyle{ J }[/math]가 환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 아이디얼이면, 집합 [math]\displaystyle{ S=\{i+j\vert i\in I,j\in J\} }[/math]도 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 아이디얼이다. 이때 [math]\displaystyle{ S }[/math]를 [math]\displaystyle{ I }[/math]와 [math]\displaystyle{ J }[/math]의 합이라고 부르고 [math]\displaystyle{ I+J }[/math]로 나타낸다.
• [math]\displaystyle{ I }[/math]와 [math]\displaystyle{ J }[/math]가 환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 아이디얼이면, 집합

  [math]\displaystyle{ P=\{i_1j_1+i_2j_2+\cdots+i_nj_n\vert n\ge 1, i_k\in I, j_k\in J\} }[/math]

는 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 아이디얼이다. 이때 [math]\displaystyle{ P }[/math]를 [math]\displaystyle{ I }[/math]와 [math]\displaystyle{ J }[/math]의 곱이라고 부르고 [math]\displaystyle{ IJ }[/math]로 나타낸다.

[math]\displaystyle{ X \subseteq R }[/math]이 생성하는 아이디얼

[math]\displaystyle{ X \subseteq R }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ X }[/math]를 포함하는 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 최소의(smallest) (좌, 우, 양쪽) 아이디얼을 [math]\displaystyle{ X }[/math]가 생성하는 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼이라고 한다. 이러한 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼 [math]\displaystyle{ I }[/math]의 존재성과 유일성은 [math]\displaystyle{ I = \bigcap_{X \subseteq J \trianglelefteq R} J }[/math]를 증명하면 보일 수 있다. 증명은 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼의 교집합이 다시 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다. 이때 [math]\displaystyle{ X }[/math]를 이 아이디얼 [math]\displaystyle{ I }[/math]의 생성자(generator)라고 한다.

이하 [math]\displaystyle{ R }[/math]을 항등원을 갖는 가환환이라고 가정하자. 한 개의 원소가 생성하는 아이디얼은 주 아이디얼(principal ideal)이라고 한다. 이때 [math]\displaystyle{ c\in R }[/math]이 생성하는 주 아이디얼은 [math]\displaystyle{ (c) }[/math]로 표기한다. 이는 다음과 같은 집합이 됨을 쉽게 알 수 있다.

[math]\displaystyle{ (c)=\{rc\vert r\in R\} }[/math]

유한 개의 원소가 생성하는 아이디얼은 유한 생성 아이디얼(finitely generated ideal)이라고 한다. 이때 [math]\displaystyle{ c_1,c_2,\cdots,c_n\in R }[/math]이 생성하는 아이디얼 [math]\displaystyle{ (c_1,c_2,\cdots,c_n) }[/math]는 다음과 같은 집합이 된다.

[math]\displaystyle{ (c_1,c_2,\cdots,c_n)=\{r_1c_1+r_2c_2+\cdots+r_nc_n\vert r_1,r_2,\cdots, r_n\in R\} }[/math]

여러 가지 아이디얼

• 소아이디얼(prime ideal)
• 극대아이디얼(maximal ideal)

같이 보기

• 몫환
• 정규부분군

참고문헌

• Thomas W. Hungerford (2012). Abstract Algebra: An Introduction. (3rd ed). Cengage Learning. ISBN 1111573336