기하학에서 십이각형은 변 이 열두개인 평면도형이다.
정십이각형[편집 | 원본 편집]
정십이각형은 변의 길이와 내각의 크기가 모두 동일한 십이각형이다. 정십이각형은 준정다각형 테셀레이션중에서 {3,12,12} 형태와 {4,6,12} 형태의 구성요소 중 하나가이다.
정십이각형의 내각의 크기는 150도이며,전체 내각의 크기는 1800도다. 길이가 [math]\displaystyle{ a }[/math] 인 정십이각형의 넓이는 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ \begin{align} A & = 3 \cot\left( \frac{\pi}{12} \right) a^2 = 3 \left( 2+\sqrt{3} \right) a^2 \\ & \simeq 11.19615242\,a^2. \end{align} }[/math]
또는, 외접원의 반지름을 [math]\displaystyle{ R }[/math] 라고 할 경우 넓이는 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ A = 6 \sin\left( \frac{\pi}{6}\right) R^2 = 3 R^2. }[/math]
또는, 내접원의 반지름을 [math]\displaystyle{ r }[/math] 라고 할 경우 넓이는 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ \begin{align} A & = 12 \tan\left( \frac{\pi}{12}\right) r^2 = 12 \left( 2-\sqrt{3} \right) r^2 \\ & \simeq 3.2153903\,r^2. \end{align} }[/math]
작도 방법[편집 | 원본 편집]
정12각형은 작도가 가능하며, 원 안에 내접한 정십이각형의 작도과정은 아래의 그림과 같다.
- 우선 원 O에 서로 수직인 지름 2개를 작도한다. 우선 지름 하나를 그린 뒤에 그 지름에 대해 수직이등분선을 작도하여 서로 직교하는 지름 2개를 만든다.
- 2개의 지름이 만드는 2쌍의 점 X,Y,A,B에 대해 원 O와 반지름의 길이가 동일하고 네 점 X,Y,A,B를 중심으로 하는 원을 작도한다. 이에 네 개의 원은 원 O와 각각 한 쌍씩 네 쌍의 교점을 만들어낸다.
- 이제 점 X,Y,A,B와 2번과정에서 만든 여덟 개의 점의 인접한 꼭짓점을 이으면 정십이각형이 작도된다.
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