실효값

실효값은 제곱평균제곱근(Root-Mean-Square)으로 표현한 물리량을 말한다. 약칭은 RMS.

전기공학 등에서 전류와 전압을 표현하는 데에 사용한다.

정의

교류는 직류와 달리 전압, 전류의 크기와 위상이 주기적으로 바뀌기 때문에, 특정 순간의 전압이나 전류의 위상과 크기는 알 수 있지만, 이걸 가지고 설명을 하기에는 무리가 있다.

• 교류 전류의 실효값 = 저항에 동일하게 평균전력을 공급하는 직류전류의 값

이를 실효값이라고 정의한다.

실효값의 유도

전압·전류가 변하지 않는 직류 전류의 경우 실효값을 따로 구할 필요가 없지만, 교류는 이를 계산해야할 필요가 있다.

교류회로에서 저항에 공급되는 평균전력 P는 [math]\displaystyle{ P = {R \over T}\int_{0}^{T} {i(t)}^2\, dt }[/math]로 표현가능하다. ([math]\displaystyle{ i(t) }[/math]는 전류, T는 주기, R은 저항)

그리고 직류회로에서의 전력 P는 [math]\displaystyle{ P = I_{\text{eff}}^2 R }[/math] 이다. ([math]\displaystyle{ I_{\text{eff}} }[/math]는 실효전류)

[math]\displaystyle{ I_{\text{eff}} }[/math]에 대해서 정리하면, [math]\displaystyle{ I_{\text{eff}} = \sqrt{{1 \over T}\int_{0}^{T} {i(t)}^2\, dt } }[/math] 가 된다.

전압에 대한 식으로 바꿔 쓰면.

[math]\displaystyle{ V_{\text{eff}} = \sqrt{{1 \over T}\int_{0}^{T} {v(t)}^2\, dt } }[/math]가 된다.

여기서 수식을 살펴보면, 제곱근(Root [math]\displaystyle{ \sqrt{} }[/math])이 앞에, 그다음 평균(Mean, [math]\displaystyle{ {1 \over T}\int_{0}^{T} dt }[/math], 그다음 제곱(Square, [math]\displaystyle{ {v(t)}^2 }[/math])이 있다. 이때문에 실효값을 RMS값이라고 부른다. 기억하기 쉽다

예시

일반적인 가정에 공급되는 전기는 실효값이 220V에 주파수가 60Hz 이므로 실제 공급되는 전압의 파형은

[math]\displaystyle{ 220V = \sqrt{60\int_{0}^{1 \over 60} ({V_{max}\sin(120\pi t))}^2\, dt } }[/math] 의 [math]\displaystyle{ V_{max} }[/math] 값이므로, 최대값이 약 311.127V (= [math]\displaystyle{ 220\times \sqrt{2} }[/math])이고 주파수가 60Hz인 사인파 형태의 신호다.

여기서,

왜 60Hz인데 [math]\displaystyle{ \sin(60t) }[/math]가 아니고 [math]\displaystyle{ \sin(120\pi t) }[/math]인가요?

라고 물을수 있으나, 1Hz 신호를 예시로 들어서 설명하자면, 1Hz는 주기가 1초이므로 [math]\displaystyle{ \sin(t) }[/math] 가 아니고 [math]\displaystyle{ \sin(2\pi t) }[/math] 라고 표현하는 게 옳은 방법이다. [math]\displaystyle{ \sin(2\pi \times 1) = \sin(2\pi \times 0) = 0 }[/math] , 삼각함수 참고.

그리고 [math]\displaystyle{ \sin(t) }[/math]는 [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]초 (약 6.2832초) 마다 한 번이므로 1Hz가 아니고 약 0.159Hz이다.