시에르핀스키 공간

서로 다른 두 원소를 가지는 집합

[math]\displaystyle{ S=\{a,b\} }[/math]

에 대해

[math]\displaystyle{ \mathcal{T}=\{\emptyset, \{a\},\{a,b\}\} }[/math]

으로 정의하면 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]는 위상이다. 이때 위상공간 [math]\displaystyle{ (S,\mathcal{T}) }[/math]를 시에르핀스키 공간(Sierpiński space)이라고 한다.

성질

• [math]\displaystyle{ \{a\}'=\{b\} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \{b\}'=\emptyset }[/math]이다.
• [math]\displaystyle{ \overline{\{a\}}=\{a,b\} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \overline{\{b\}}=\{b\} }[/math]이다.
• [math]\displaystyle{ S }[/math]는 연결공간이다.
• [math]\displaystyle{ S }[/math]는 T₀ 공간이지만 T₁ 공간이 아니다.