스큐스 수

스큐스 수(Skewes' number)는 소수 정리와 관련이 있는 큰 수로, 스탠리 스큐스가 이 수를 고안하였다.

스큐스 수의 값은 매우 큰 수이기에 아래 정의만 주어져 있고 참값은 모르는 상태다. 다만 대략 어느 범위에 있다고 특정할 수는 있다.

정의

소수 계량 함수는 로그 적분 함수와 비슷한 증가 경향을 보인다. 작은 자연수에서는 [math]\displaystyle{ \pi(x) \lt \operatorname{li}(x) }[/math]이지만 어떤 특정한 값을 넘어서면 부등호가 역전한다. 그리고 자연수가 끝없이 커지면 두 함수의 값의 대소가 무한 번 뒤집어진다는 사실이 알려져 있다.

스큐스 수는 [math]\displaystyle{ \pi(x) \gt \operatorname{li}(x) }[/math]를 만족하는 가장 작은 자연수로 정의한다. 즉 스큐스 수에서 두 함수의 대소가 '처음으로' 뒤집어진다.

현재까지 알아낸 바로는 [math]\displaystyle{ 10^{19} }[/math]까지는 부등호가 뒤집어지지 않는다. 즉 이 값은 스큐스 수의 확정된 하한선이다.

스큐스의 접근

알고자 하는 스큐스 수를 [math]\displaystyle{ S }[/math]라 할 때, 스큐스는 두 전제 하에서 이 값의 상한선을 찾아냈다.

• (1933년) 리만 가설이 참이라고 가정하면 [math]\displaystyle{ S \lt e^{e^{e^{79}}} }[/math]이다. 이 상한선을 첫 번째 스큐스 수, [math]\displaystyle{ \text{Sk}_1 }[/math]이라 한다.
• (1955년) 리만 가설이 참이라는 전제를 깔지 않으면 [math]\displaystyle{ S \lt e^{e^{e^{e^{7.705}}}} }[/math]이다. 이 상한선을 두 번째 스큐스 수, [math]\displaystyle{ \text{Sk}_2 }[/math]라 한다.

리만 가설이 참이면 값의 범위가 좁아진다. (즉 조건이 강력해진다) 그런데 첫째 상한선이 맞다 치더라도 위 값은 무시무시하게 크다. 상한선을 10의 거듭제곱으로 근사하면 [math]\displaystyle{ 10^{10^{8.85 \times 10^{33}}} }[/math]으로, 이는 구골플렉스보다 훨씬 크다. 즉 십진법 전개가 불가능한 수준이다. 두 번째 값은 대략 [math]\displaystyle{ 10^{10^{3.3 \times 10^{963}}} }[/math]이다.

범위 좁히기

이후 스큐스 수의 존재 범위를 더 추리기 위한 탐색이 이어졌고, 확정된 상한선은 스큐스가 찾은 것보다 훨씬 줄어들었다.

• 1966년: [math]\displaystyle{ S \lt 1.165 \times 10^{1165} }[/math]
• 1987년: [math]\displaystyle{ S \lt 8.185 \times 10^{370} }[/math]
• 2000년: [math]\displaystyle{ S \lt 1.39822 \times 10^{316} }[/math]
• 2011년: [math]\displaystyle{ S \lt 1.397162 \times 10^{316} }[/math]

현재까지 추린 값도 센틸리언(centillion) 정도 크기로 매우 크지만, 위 문단에 적힌 수를 보고난 후라면 선녀 같이(?) 느껴질 것이다.