대칭군

정의

대칭군(Symmetric group)은 함수의 합성을 연산으로 하는 모든 치환 [math]\displaystyle{ \sigma:\{1,2,\cdots, n\}\to\{1,2,\cdots, n\} }[/math]의 집합으로, [math]\displaystyle{ S_n }[/math]으로 나타낸다.

대칭군은 군인가?

대칭군의 원소 [math]\displaystyle{ f,g,h\in S_n }[/math]에 대해,

• 일대일 대응의 합성은 일대일 대응이므로 [math]\displaystyle{ f \circ g\in S_n }[/math]
• 일대일 대응의 합성은 결합법칙이 성립하므로 [math]\displaystyle{ (f\circ g)\circ h = f\circ (g\circ h) }[/math]
• e를 [math]\displaystyle{ e(1)=1,e(2)=2,\cdots, e(n)=n }[/math]인 함수로 정의하면 [math]\displaystyle{ f\circ e= e \circ f =f }[/math]이다.
• 일대일 대응의 역함수는 일대일 대응이므로, 임의의 [math]\displaystyle{ f }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f^{-1}\in S_n }[/math]이고 [math]\displaystyle{ f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f = e }[/math]이다.

따라서 대칭군은 군이다. 그러나 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않으므로, 대칭군은 일반적으로 아벨군이 아니다.

원소표기

• 코시(Cauchy)의 두줄 표기법: 첫번째 줄에는 1~n까지 적고 그 다음 줄에 각 수에 대응되는 수를 적는 방법이다. 각각이 어떻게 치환되는지 쉽게 알 수 있다.
  • [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 3 & 2 & \cdots & n\end{pmatrix} }[/math]
• 순환마디의 곱으로 표기: 어떤 원소를 시작으로 그 원소와 대응하는 원소를 다음에 적고 그 다음에 또 대응하는 원소를 적는 식으로 처음 원소가 될 때까지 계속 적어낸 것을 순환마디라고 한다. 이런 순환마디를 여러 개 적어 원소를 표시한다. 또한 길이가 1인 순환마디는 생략한다.
  • [math]\displaystyle{ (1~2~3~4)(5~6) }[/math]
  • 이 예시는 [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 6 & 5 \end{pmatrix} }[/math]를 의미한다(생략된 순환마디가 없다면).
  • 항등원의 경우 순환마디의 길이가 모두 1이라 다 생략하고 아무것도 남지 않아... 예외적으로 [math]\displaystyle{ 1 }[/math]로 적는다.
  • 특별한 경우가 아니면 가독성이 떨어져서 순환마디에 나온 원소가 다른 순환마디에 적지 않는다. 예로, [math]\displaystyle{ (1~2)(2~3) }[/math]대신 [math]\displaystyle{ (1~3~2) }[/math]로 적는다. 다만 길이가 2인 순환마디로 나타낼 수 있음을 강조하고 싶을 때에는 앞의 경우를 쓴다.

특징

• [math]\displaystyle{ |S_n| = n! }[/math]
• 단순군이 아니다. 교대군 [math]\displaystyle{ A_n }[/math]이 대칭군[math]\displaystyle{ S_n }[/math]의 정규부분군이기 때문이다.
• 유한군의 위수가 [math]\displaystyle{ n }[/math]일 때, 그 유한군은 [math]\displaystyle{ S_n }[/math]의 부분군이다.
• [math]\displaystyle{ n \leq 4 }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ S_n }[/math]는 가해군이다. [math]\displaystyle{ n \ge 5 }[/math]일 때에는 가해군이 아니다. 이렇기 때문에 5차방정식의 일반적인 해법(근의 공식)은 존재하지 않는다.

예

[math]\displaystyle{ 1,2,3 }[/math]을 가정하고 위수(Order) [math]\displaystyle{ |G6| = \left\{ (123),(231),(312),(132),(213),(321) \right\} }[/math]을 조사할수있다.

[math]\displaystyle{ (123) \text{는} \begin{pmatrix} 123\\ 123 \end{pmatrix} }[/math]의 2줄표기법(2 line notation)의 생략형 표기에서

따라서 [math]\displaystyle{ |G6| = \left\{ \begin{pmatrix} 123\\ 123 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 123\\ 231 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 123\\ 312 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 123\\ 132 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 123\\ 213 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 123\\ 321 \end{pmatrix}\right\} }[/math]

[math]\displaystyle{ |G6| = \left\{ \begin{matrix}(123) & (321) \\ (231) & (132) \\ (312) & (213)\end{matrix} \right\} }[/math] 대칭을 이룬다.

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