시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학

수학이 정말 쉬워서 저 수포자 그만둡니다.

문서의 내용이 너무 쉬워서 머리속에 쏙쏙 들어옵니다.

이 문서는 쉽게 알 수 있다 시리즈이며, 집단연구 문서입니다.

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들어가기 전

이 항목은 너, 나, 우리 수포자도 이해할 수 있는 수학 개념들을 적어보는 집단 연구 문서이다.

수학 고수 여러분 부탁합니다.

중요하지만 우리 수포자들을 좌절시키는 수학 개념 위주로 서술하면 좋을 듯하다. 엄밀한 정의는 다른 문서에 서술한다. 엄밀하게 들어가면 끝이 없으므로......

수학 어려운 거 아닙니다. 다만 문제가 개 같기 때문이지요. 사실 2015년 현재 고등학교 과정 까지의 수학 교과 과정에서 다루는 내용이 절대적으로 어렵진 않다. 변별력, 간단히 말해서 입시생들을 줄세우기 위한 방편으로 문제에 큰 의미없는 함정을 넣거나 하는 식으로 무의미한 난이도 조절을 하기 때문이다. 더불어, 다른 나라와 비교할 때 상대적으로 많은 분량을 소화할 것을 요구하기 때문이기도 하다.

• 편집에 대한 도움말
  • 작성 범위는 문과 수학에 한정하지 않습니다. 사전지식이 없어도 알 수 있는 내용 위주로 작성합니다.
  • 그림이 필요한 경우에는 <!>그림 추가 필요<!>를 넣습니다.

수학을 공부하는 이유

교과과정에서 흔히 만날 수 있는 수학은 이유도 목적도 알려주지 않은 채 일단 문제를 풀라는 식으로 되어 있는 경우가 많다.입시 교육의 폐해. 애초에 수학은 왜 공부하는 걸까?

수학 교과의 설명

수학과는 수학의 개념, 원리, 법칙을 이해하고 기능을 습득하여 주변의 여러 가지 현상을 수학적으로 관찰하고 해석하는 능력을 기르며, 수학적 문제 상황을 수리·논리적 사고를 통하여 합리적으로 해결하는 능력과 태도를 기르는 교과이다.

원론적인 이야기……. 이딴 얘기 때려치우고!

수포자에게까지 굳이 수학을 가르치는 이유

“

사실 살면서 다시는 근의 공식을 안 쓰거나 미적분은 손도 댈 일이 없는 사람이 대부분이다. 그런데도 굳이 수학을 왜 가르칠까? 수학이 전체 교육과정의 일부인 것은 수학적 지식을 전수하기 위해서라기보다는 논리적 사고력을 키우기 위해서이다.

“

라고들 보통 말한다.

만약 저 말이 옳다면, 사실…… 수학 안 가르쳐도 될 것 같다. 논리적 사고력은 퍼즐게임이나 프로그래밍 같은 식으로도 대부분 대체할 수 있지 않을까? 그렇다면 남는 이유는, 아주 극단적으로 말해서, 수학을 정규 교육과정에서 제외함으로 인해 실업자가 될 수많은 수학 교사의 반발뿐으로, 그들의 밥그릇 때문에 우리가 이 고생을 하고 있다(?)는 대단히 암울한 결론에 이른다. 사실 이과 드립을 하기 위해서 필요하다.

하지만 정말 그럴까? (독자연구) 결론부터 말하면 그렇지 않다.

• 살면서 다시는 근의 공식을 쓰거나 미적분은 손도 댈 일이 없는 사람이 대부분인가?

  평생 치킨을 팔거나 단순 사무직에만 종사한다면 몰라도 조금이라도 공부를 하는 한 수학은 필요하다. 보통 문과 계열로 분류하는 학문 분야, 예를 들어 인문학과 사회학, 경제학, 정치학 등에도 수학적 모형과 과학적 방법론이 도입된 지 오래다.

  통계학은 설문조사 결과든 뭐든, 수치로 계량화할 수 있는 자료라면 어디에나 적용할 수 있으므로 빠지는 분야를 찾기 어렵고,

  미분은 수학적으로 모형화하면 기본으로 튀어나오는 미분방정식(또는 점화식)을 푸는 데 필요하다.

  행렬은 그 수학적 모형에서 변수가 두 개 이상만 되면 튀어나온다.

  지수와 로그는 미분방정식 풀 때 기본으로 나오는 지수함수를 해결하려면 알아야 한다.

  그것들을 ‘편하게’ 하라고 지금 미분을, 행렬을, 지수와 로그를 배우고 있는 것이다. 나중에 공부하다가 수학적 모형이 나왔을 때 구구단처럼 당연한 것으로 받아들이고 척척 풀 수 있도록 미리 연습해 두는 것이다.

  "나는 대학 안 가는데요?" 대학 안 가면 평생 공부 안 하고 살 것 같은가? 공부는 평생 하는 것이다.

  예를 들어 30대 40대 돼서 이직 자리 구할 일이 없을 것 같은가? 그때 다른 구직자들과의 경쟁에서 살아남기 위해 자격증 하나라도 더 따려고 할 일이 없을 것 같은가? 그때 가서 그 시험과목 중에 수학적 기반을 필요로 하는 것이 있다면 그냥 포기할 건가? 혹은 울며 겨자 먹기로 비싼 학원비 들여가며 "왜 학생 때 수학을 포기했을까?"하고 한탄하고 있을 건가?

• 수학을 가르치는 이유는 논리적 사고력을 기르기 위해서인가?

  일단 맞다. 그런데 ‘논리적 사고력’이라는 단어로는 다 전달이 안 되는 뭔가 더 엄청난 것이 있다. 수학적 사고의 기본은 ‘이 전제하에서라면 답은 하나로 정해지는’ 경우 그 답이 뭔지 미리 알아 놓자는 것이다. 다만 그 답이 진짜 정답이 되게 엄청나게 엄밀히 답을 구하고, 그렇게 구한 답이라면 부정하지 말자는 것이다.

  답을 미리 알아 놓으면 좋은 일이 많다. 답이 아닌 걸 붙들고 늘어져서 발생하는 손해를 줄일 수 있고, 혹은 나쁜 답이 도출될 전제를 피해갈 수도 있다. 그게 답일지 아닐지, 좋은 답일지 나쁜 답일지, 어떻게 그렇게 확신하느냐고? 그걸 확실하게 하려고 논리적 사고를 배우는 것이다.

  교과서에서는 밑도 끝도 없이 논리적 사고력을 기르는 것이 목표라고 하지만, 구체적으로 말하면 여러분이 확실하게 아닌 걸 맞다고 헛소리 지껄이는 거랑 확실하게 맞는 걸 아니라고 헛소리 지껄이는 상황을 막아서 여러분이 세상을 좀 더 쉽고 편하게 살게 하는 것이 목표이다. 즉 '확실하게 아닌 걸 맞다고 하지 않고, 확실하게 맞는 걸 아니라고 하지 않는 논리적 사고력’을 길러주는 것이 목표란 말이다. 세상에 그렇게 확실한 게 있기는 있느냐고?

  • 예를 들어 사과 세 개가 있고 배 다섯 개가 있다. 총 몇 개인가? 여덟 개이다. 누가 "왜 여덟 개야?" 라고 물어보면 이렇게 대답할 것이다. “3+5=8이니까.” 여기다 대고 ‘일곱 개’라거나 ‘아홉 개’라고 우기는 사람은 없을 것이다. 왜? ‘세 개고 다섯 개인 이상 답은 여덟 개로 정해졌기’ 때문이다. 세어 보면 누구든지 알 수 있는 것이고, 세어 보지 않고도, 눈 감고도 여덟 개임을 안다. 누가 일곱 개임을 전제로 연구를 하거나 아홉 개임을 전제로 강연을 하더라도, 내버려두면 된다. 알아서 망할 것이다. 왜? 여덟 개이니까. 여덟 개인 게 너무 당연해서 다른 생각을 안 하는가? 이미 당신은 수학적 사고에 발을 담그고 있는 것이다.
  • 이번엔 좀 더 어려운 예를 들어 어떤 사람 甲이 길이가 3, 5, 7인 철강 빔(beam) 세 개를 가지고 무슨 구조물을 만들려고 한다. 근데 안정성을 생각해서 예각삼각형으로 만드는 것이 목표라고 해 보자. 수학 고수 乙이 이렇게 얘기한다. “길이가 3이랑 5인 빔이 만나는 쪽의 각도가 120˚가 돼서 불안정할 텐데?”이 삼각형 무게중심은 어디를 바닥에 대도 바닥면을 안 벗어나는데? 위에 뭐 안 올리는 한 쓰러질 일은 없다. 바보야 올리려고 만드는 거니까 문제지 직각삼각형으로 만들면 안 되나? 예각삼각형으로 만드는 게 위에다 뭐를 올렸을 때 무게중심이 좌우로 이동하는 게 가장 적다. 甲은 말한다. “야 인마 형 믿어. 내가 한두 번 해 봐? 예각삼각형 되게 다 만드는 방법이 있어.” 어떻게 됐을까? 아까 표현대로 써 보면 이렇다. “누가 예각삼각형임을 전제로 구조물을 만들더라도, 내버려두면 된다. 알아서 망할 것이다. 왜? 120˚니까.” 당연히 乙의 말대로 됐고, 甲은 빔값을 날렸다(그리고 공사 기한을 못 맞추게 됐을지도 모르고, 채무불이행으로 손해배상책임을 졌을지도 모른다). 왜 그런가? ‘삼각형에서 세 변의 길이가 정해져 있다면 세 내각의 크기는 각각 하나로 정해지기’ 때문이다. 이 경우의 수학자들이 미리 알아 놓은 답이 바로 제2 코사인법칙이다. 즉 식으로 쓰면 [math]\displaystyle{ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C }[/math]가 무조건 성립하게 되어 있다. 지금 당장 c=7, a=3, b=5 넣어 보면 cos C = −1/2이 나올 것이다. 누구라도 직접 삼각형을 만들어 보더라도 항상 120˚임을 알 수 있다. 그러나 수학을 공부했다면 만들어 보지 않고도, 눈 감고도 120˚임을 안다. 아까 3+5=8이니까 여덟 개인 게 너무 당연해서 다른 생각을 안 했다면, 지금도 제2 코사인법칙 때문에 120˚인 게 너무 당연해서 다른 생각을 하면 안 된다. 하지만 수학을 모르면 甲처럼 헛소리를 지껄이게 되고, 수학자들이 구해 놓은 답을 무시하면 甲처럼 망하게 된다.

  이처럼 수학은 ‘이 전제하에서라면 답은 하나로 정해지는’ 경우에 여러분이 엇나가지 않게 해 준다. 그렇게 함으로써 여러분의 시간과 노력, 비용을 절약하고, 여러분이 세상을 좀 더 쉽고 편하게 살게 해 준다. 수학을 통해 거기 있는 게 황금인지, 용의 아가리인지 뻔히 알 수 있다. 그건 정해져 있다. 수학을 모르고 눈앞의 황금을 놓치거나 용의 아가리로 돌진할 텐가, 아니면 지금 수학을 공부해 볼 텐가?

수학이 중요한 이유

굳이 전 인류가 수학을 배워야 하는가는 넘어가더라도 현대 문명이 발달하는 데 수학이 꼭 필요함은 부정할 수 없다. 수학은 정말 쓰임새가 많은 학문이다. 수학의 쓸모를 설명하기 위해, 많은 수포자들이 가장 눈꼴사납게 보는 것 중 하나인 미적분의 쓸모를 예로 들어보겠다.

미적분은 미세한 변화를 토대로 현실에 대한 모형을 만드는 학문이다. 즉 방정식 몇 개면 현실을 상당히 정확히 시뮬레이션할 수 있다. 덕분에 현대 문명의 거의 모든 곳에는 미적분을 쓴다. 예를 들면:

• 날씨의 미세한 변화를 공부함으로써 날씨를 예측할 수 있게 해준다. (나비에-스톡스 방정식)
• 전자기장의 미세한 변화를 공부함으로써 전자기장을 정확히 통제할 수 있게 해준다. 이걸 열심히 한 덕분에 컴퓨터, 전구, 전자악기 등 모든 전자장비를 만들 수 있게 되었다. (맥스웰 방정식)
• 화학반응의 미세한 변화를 공부함으로써 화합물을 어떻게 섞어야 가장 효율적인지 알게 되었고, 덕분에 샴푸나 칫솔, 비료 등의 제품을 대량으로 얻을 수 있게 되었다.
• 금융경제의 미세한 변화를 공부함으로써 주식 가격을 예측할 수 있게 해준다. (블랙-숄즈 방정식)

이 밖에도 정수론이나 상대성이론 같은 자연의 신비를 연구하는 데에도 미적분을 사용한다.

한편 쓰임새를 다 떠나서, [math]\displaystyle{ \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots = \frac{\pi^2}6 }[/math]같은 식들을 보라. 제곱수의 역수들을 쭉 더했더니…… 원의 둘레와 지름의 비율이 나왔다! 아무 관련 없는 개념 두 개가 신비롭게 연결되는 것을 목격할 수 있다(그리고 이걸 증명하기도 쉽지는 않다). 수학을 깊게 공부하면 이런 경이로움을 밥 먹듯이 만나기 때문에 재미로만 연구를 계속하는 수학자들이 존재한다.

정말로 기초적인 내용

• 사칙연산은 더 이상의 자세한 설명은 생략한다.
  • 곱셈, 나눗셈과 덧셈, 뺄셈이 있으면 곱셈, 나눗셈을 먼저 한다.
  • 0으로 나누기는 보통의 수체계에서, 의미있는 결과를 얻고 싶다면, 정의하지 않는다.
• 어떤 수 a를 m번 곱한 것을 a의 m제곱이라 하고, a^m로 표기한다. m이 2이면 그냥 제곱이라 한다. 이때 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 밑, [math]\displaystyle{ m }[/math]을 지수라 한다.
  • 거듭제곱과 곱셈, 나눗셈이 있으면 거듭제곱을 먼저 한다.
• 괄호가 있는 식은 소괄호, 중괄호, 대괄호 순으로, 괄호 안부터 계산한다.

문서 목록

1. 집합과 명제 : 집합과 명제에 관한 내용 수록.
2. 수의 체계와 수의 성질 : 자연수, 유리수, 실수 등의 수의 체계와 약수와 배수, 소수 및 소인수 분해에 관한 내용 수록.
3. 문자와 식 및 방정식과 부등식 : 문자와 다항식 및 그의 연산과 일차 방정식·부등식, 이차 방정식·부등식, 고차 방정식·부등식에 관한 내용 수록.
4. 함수 : 함수와 함수의 종류, 다항함수, 초월함수 및 함수의 연속과 극한에 관한 내용, 매개변수 수록. 기하와 벡터에서 음함수의 존재를 다루게 되면서 관련 설명 추가.
5. 수열 : 등차·등비수열과 계차수열, 점화식과 수학적 귀납법, 수열의 극한에 관한 내용 수록. 여기서 계차수열과 점화식은 고교 교육과정에서 올해부터 빠짐.
6. 미분과 적분 : 다항함수와 초월함수의 미분과 적분에 관한 내용 수록.
7. 확률과 통계 : 경우의 수와 확률 및 통계에 관한 내용 수록.
8. 평면기하학과 공간기하학 : 좌표를 도입하지 않은 기하학에 관한 내용 수록.
9. 해석기하학 : 좌표를 도입하여 문제를 해결하는 기하학과 벡터에 관한 내용 수록. 단, 음함수와 매개변수로 나타낸 함수는 성질상 함수에 더 가까우므로 함수 파트에서, 이들의 미분은 미분파트에서 설명함.