Orthocenter
정의[편집 | 원본 편집]
삼각형의 세 수선의 교점을 부르는 말. 삼각형의 오심 중 하나이며, 한국의 수학 교육과정에서는 방심과 함께 가르치지 않고 넘긴다. 하지만 수학 경시대회를 준비한다면 꼭 알아놔야 하는데, 그 이유는 다름 아닌 공원점 때문. 수선을 여러 개 긋다보니 자연히 공원점인 점들이 많이 생기고, 이를 이용해 원과 삼각형의 활용 문제를 내기 편하기 때문이다.
예각삼각형의 경우 수심이 삼각형 안에 존재하지만, 직각삼각형은 수심이 직각인 꼭짓점, 그리고 둔각삼각형은 수심이 삼각형 바깥에 존재한다.
성질[편집 | 원본 편집]
- 삼각형의 세 수선은 반드시 한 점에서 만난다.
- 수심, 무게중심, 외심, 구점원의 중심은 공선점이다.
- 수심에서 삼각형의 꼭짓점까지의 거리와 그 수선의 발까지의 거리의 곱은 세 수선에 관계없이 일정하다.
증명[편집 | 원본 편집]
1.[math]\displaystyle{ A }[/math]와 [math]\displaystyle{ B }[/math]에서 각 대변에 내린 수선의 발을 각각 [math]\displaystyle{ D,E }[/math]라 하고, 두 수선의 교점을 [math]\displaystyle{ H }[/math]라 하자. 그리고 [math]\displaystyle{ \overline{CH} }[/math]의 연장선이 [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math]와 만나는 점을 [math]\displaystyle{ F }[/math]라 하자. 이제 [math]\displaystyle{ \angle{HBD}=\alpha,\,\angle{ABH}=\beta,\,\angle{BAH}=\gamma }[/math]라 하면, [math]\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=90^\circ }[/math]이다. 한편, [math]\displaystyle{ A,B,D,E }[/math]가 공원점이므로 [math]\displaystyle{ \angle{DAE}=\alpha }[/math](호 [math]\displaystyle{ \overarc{DE} }[/math]에 대한 원주각), [math]\displaystyle{ \angle{ADE}=\beta }[/math](호 [math]\displaystyle{ \overarc{AE} }[/math]에 대한 원주각). 또한, [math]\displaystyle{ E,H,D,C }[/math]가 공원점이므로 [math]\displaystyle{ \angle{ECH}=\angle{EDH}=\beta }[/math]. 따라서 [math]\displaystyle{ \triangle{AFC} }[/math]의 내각의 합은 [math]\displaystyle{ \angle{AFC}+\alpha+\beta+\gamma=\angle{AFC}+90^\circ=180^\circ }[/math]. 따라서 [math]\displaystyle{ \angle{AFC}=90^\circ }[/math]. 둔각삼각형의 경우에도 같은 방법으로 증명할 수 있다.
2. 오일러 직선 참조.
3. [math]\displaystyle{ A,B,D,E }[/math]를 지나는 원에서 방멱의 정리에 의해 [math]\displaystyle{ \overline{HA}\cdot\overline{HD}=\overline{HB}\cdot\overline{HE} }[/math]. [math]\displaystyle{ A,F,D,C }[/math]를 지나는 원에서 마찬가지로 [math]\displaystyle{ \overline{HA}\cdot\overline{HD}=\overline{HC}\cdot\overline{HF} }[/math]. 따라서 [math]\displaystyle{ \overline{HA}\cdot\overline{HD}=\overline{HB}\cdot\overline{HE}=\overline{HC}\cdot\overline{HF} }[/math].
기타[편집 | 원본 편집]
앞서 설명했듯이 공원점인 점들이 굉장히 많다. [math]\displaystyle{ \left(A,B,C\right),\left(A,F,H,E\right),\left(B.D.H,F\right),\left(C,E,H,D\right),\left(A,F,D,C\right),\left(B,D,E,A\right),\left(C,E,F,B\right) }[/math] 이렇게 7개의 원을 그릴 수 있다. 다만 이렇게 원들이 많다보니 수심 그 자체의 성질은 몇 가지 안되고 대부분의 문제는 원의 성질을 사용하게 된다. 학교에서 특별히 가르치지 않는 이유 중 하나. 다른 이유로는, 수심은 삼각형의 다른 오심과 연결된 성질이 많은데, 중학교 수준에서는 그걸 다 증명하기가 쉽지 않다. 다 증명한다고 해도 별로 쓸 일도 없고... 하지만 수학 경시대회에서는 잘만 나오니 경시대회를 준비하는 학생이라면 열심히 공부하자.