상대성 이론

상대성 이론알버트 아인슈타인이 제창한 물리학 이론이다. 상대성 이론은 인류가 가진 시간과 공간에 대한 개념을 완전히 바꿔놓았으며, 양자역학과 함께 현대 물리학을 완성한 이론으로 꼽힌다. 특수 상대성 이론과 일반 상대성 이론으로 나뉘며, 그 둘은 중력의 여부를 포함하느냐 아니냐에 따라 달라진다. 특수 상대성 이론이 더 먼저 나왔고, 중력을 고려하지 않아 상대적으로 쉬운 이론이며, 일반 상대성 이론은 중력까지 이론의 범위에 포함시켜 훨씬 보다 어려운 이론이다.

1 특수 상대성 이론[편집]

특수 상대성 이론은 아인슈타인의 기적의 해1905년에 아인슈타인이 발표한 네 개의 논문 중 세번째 논문인 "움직이는 물체의 전기역학"[1]에서 기반된 이론이다.

1.1 기본 가정[편집]

특수 상대성 이론의 가장 기본적인 가정은 단 두 개뿐이다.

  • 상대성 원리: 이는 모든 관성계에서 물리 법칙은 동등하다는 것이다. 쉽게 말해서 어떤 물리 법칙이 지상에서 적용된다면 달리는 기차 안이든, 날아가는 비행기 안이든, 궤도를 도는 우주선 안이든, 아예 다른 은하에서든 간에 관성계이기만 하면 같은 물리 법칙이 동일하게 적용된다는 뜻이다.
  • 광속도 불변의 원리: 빛의 속도는 어느 관성계에서 관측하든지 간에 관성계의 운동 상태와 상관없이 일정하다. 예를 들어 정지한 상태에서 누군가 쏜 빛을 10km/h로 쫓아가면서 바라보든, 광속의 99%로 쫓아가며 보든 항상 지조있게 같은 속도로 관측된다는 거다. 참고로, 진공에서의 광속은 정확하게 299,792,458 m/s이다. 이는 길이의 단위인 미터(m)의 정의가 진공에서의 광속을 표준으로 하기 때문이다.

1.2 현상[편집]

1.2.1 시간 지연[편집]

어떤 관성계 A에서 일정한 상대속도 [math]\displaystyle{ v }[/math]로 이동하는 다른 관성계 B를 관측할 때, B의 시간은 다음과 같이 관측된다.

[math]\displaystyle{ \Delta t' = \gamma \Delta t = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}} }[/math]

여기서

[math]\displaystyle{ \Delta t }[/math]는 관성계 A에서 일어난 두 사건 사이의 시간 간격,
[math]\displaystyle{ \Delta t' }[/math]는 관성계 B에서 일어난 동일한 두 사건 사이의 시간 간격,
[math]\displaystyle{ v }[/math]는 두 관성계 간의 상대속도,
[math]\displaystyle{ c }[/math]는 진공 중에서의 빛의 속도,
[math]\displaystyle{ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}} \, }[/math]는 로렌츠 인자이다.

[math]\displaystyle{ \gamma \geq 1 }[/math]이므로 언제나 [math]\displaystyle{ \Delta t' \geq \Delta t }[/math]이고, 따라서 이를 시간 지연이라고 부른다.

1.2.1.1 해설[편집]
정지한 광자 시계
이동중인 광자 시계

가상의 광자 시계를 생각해보자. 이 시계는 양쪽에 완벽한 거울이 서로를 바라보게 설치되어 있으며, 광자가 빛의 속도로 두 거울을 왔다 갔다 하고 있다. 시계는 광자의 왕복을 측정하며, 이때 광자가 한번 왕복하는데 걸리는 시간이 Δt라고 가정해보자.

이제 동일한 광자 시계 두 개가 있어서, 하나는 가만히 있고 다른 하나는 일정한 속도로 움직이고 있다고 떠올려보자. 그리고 관찰자(A라고 하자)는 움직이지 않는 시계 바로 앞에서 역시 가만히 정지해 있다. 그 상태에서 A가 움직이지 않는 시계를 관찰할 때를 생각해보자. A가 볼 때 움직이지 않는 시계의 광자가 한번 왕복하면, 움직이지 않는 시계는 현재 시간이 Δt만큼 지났다고 표시할 것이다. 여기까지는 당연한 결과이며, 상식에 어긋나는 부분은 어디에도 없다.

그러면 이제 움직이지 않는 관찰자가 움직이는 시계를 관찰할 때를 상상해보자. 움직이는 시계 역시 광자가 한번 왕복하면 시간이 Δt만큼 지났다고 표시할 것이다. 그런데 그림에서 보이듯이, A가 볼 때 광자는 사선으로 움직이고 있다. 따라서 이 광자는 매 번 왕복할 때마다 정지한 시계의 광자보다 더 긴 거리를 이동한다. 그리고 광속도 불변의 원리에 의해 광자의 속력은 양쪽 모두 동일하므로, A가 볼 때 움직이는 시계의 광자는 Δt보다 더 긴 시간 Δt'이 지나야 광자가 한 번 왕복하게 된다. 즉, A의 입장에서 보면 '실제' 시간은 Δt'만큼 지났지만 움직이는 시계가 느리게 작동해서 Δt만 지났다고 표시될 뿐인 것이다. 즉 우리의 광자 시계는 움직일 때 시간이 느리게 흐른다.

지금까지는 광자 시계에 대해서만 논의했지만, 이는 다른 모든 경우에도 동일하게 적용된다. 광자 시계가 아닌 손목시계를 가져다놓아도 느리게 가고, 사람의 심장 박동도 느려지고, 심지어 빛의 진동수조차 느려진다. 즉, 움직이는 관성계를 관찰하면 시간이 느리게 흐르는 것으로 보인다. 매우 이상한 결론에 도달한 것 같지만 상대론적 세계에서는 전혀 이상하지 않은 일이다. 우리가 이를 이상하게 생각하는 것은 단지 우리가 일상을 살아가면서 접하는 속도들이 광속과 비교했을 때 터무니없이 느린 속도이기 때문일 뿐이다.

이제 움직이는 시계와 같이 움직이는 관찰자 B를 상상해보자. B가 움직이는 시계를 보게 되면, 상대속도가 0이므로 시계는 정지해 있는 것처럼 보이고, 빛은 정상적으로 왕복하는 것처럼 보일 것이다. 따라서 B가 볼 때는 움직이는 시계에서 광자가 왕복하는 동안 정상적으로 시간 Δt가 흐르는 것처럼 보인다. 반면 B가 '정지한' 시계를 보면 마치 반대 방향으로 움직이는 것처럼 보일 것이고, 따라서 '정지한' 시계의 광자가 왕복하는데 시간이 Δt'만큼 걸리는 것처럼 보일 것이다. 상대성 원리에서 규정한대로, 정지한 A나 움직이는 B나 둘 다 똑같이 자신은 시간이 정상적으로 흐르고 상대방은 시간이 느리게 흐른다고 본다. 그리고 두 관점 모두 동등하게 옳다. 즉, 시간은 상대적이다.

1.2.2 길이 수축[편집]

어떤 관성계 A에서 일정한 상대속도 [math]\displaystyle{ v }[/math]로 이동하는 다른 관성계 B를 관측할 때, B의 상대속도 방향 길이는 다음과 같이 관측된다.

[math]\displaystyle{ L' = \frac{L}{\gamma} = L \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} }[/math]

여기서

[math]\displaystyle{ L }[/math]는 관성계 A에서 두 지점 사이의 길이,
[math]\displaystyle{ L' }[/math]는 관성계 B에서 동일한 두 지점 사이의 길이,
[math]\displaystyle{ v }[/math]는 두 관성계 간의 상대속도,
[math]\displaystyle{ c }[/math]는 진공 중에서의 빛의 속도,
[math]\displaystyle{ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}} \, }[/math]는 로렌츠 인자이다.

[math]\displaystyle{ \gamma \geq 1 }[/math]이므로 언제나 [math]\displaystyle{ L' \leq L }[/math]이고, 따라서 이를 길이 수축이라고 부른다.

1.2.2.1 해설[편집]

광자 시계를 응용해서 광자 거리측정기를 상상해보자. 이 기기는 광자를 전방으로 발사해 반사되어 돌아오는 시간을 재는 식으로 전방의 물체까지 거리를 측정한다. 그리고 아까와 같이 정지한 광자 거리측정기와 움직이는 광자 거리측정기, 그리고 정지한 관찰자 A를 상상해보자. 두 거리측정기 모두 동일한 크기의 두 상자 안에 각각 들어 있으며, 상자의 후면에서 전면을 거쳐 다시 후면으로 광자가 왕복하는데 걸리는 시간을 측정해 두 면 사이의 거리를 잰다. 이제 A가 볼 때 정지한 거리측정기가 잰 거리가 L이라고 하자.

이제 A가 움직이는 거리측정기를 관찰하는 경우를 상상하자. 움직이는 거리측정기에서 광자를 쏘면 광자는 빛의 속도로 전면을 향해 나아가지만, 상자 자체가 전방으로 이동중이므로 전면 역시 앞으로 움직이고 있다. 따라서 빛이 전면에 도달할 때까지 걸리는 시간은 정지한 상자의 경우와 비교할 때 더 오래 걸린다. 반면 반사된 빛이 다시 거리측정기로 돌아오는데 걸리는 시간은 더 짧아진다. 광자가 뒤로 되돌아오는 동안 거리측정기는 앞으로 이동중이기 때문. 이제 두 시간을 합해 총 왕복시간을 구할 수 있는데, 중요한 것은 이때 앞서 언급한 시간지연을 고려해야 한다는 것이다. 움직이는 상자에서는 시간이 느려지기 때문에, 왕복시간을 측정하기 위해 거리측정기 안에 내장된 시계 역시 느리게 흐르고, 따라서 거리측정기가 잰 총 왕복시간 역시 느려진다. 결론적으로 모든 요소를 종합해 계산해보면, 움직이는 상자의 거리 L'은 정지한 상자의 거리 L보다 짧아진다는 것을 알 수 있다.

물론 여기서도 상대성 원리가 적용된다. 움직이는 거리측정기+상자와 함께 움직이는 관찰자 B가 볼 때, 길이가 짧아지는 건 A와 함께 있는 상자이고 자신과 함께 '정지해 있는' 상자는 정상적인 길이로 보일 것이다. 이번에도 두 관점 모두 동등하게 옳고, 따라서 시간 뿐만 아니라 길이 역시 상대적이다. 단, 길이 수축은 이동중인 방향의 길이에서만 일어나고, 이동 방향에 수직한 방향으로는 일어나지 않는다.

1.2.3 빛의 속도는 넘을 수 없다.[편집]

어떤 입자도 빛보다 빠른 속도로 운동할 수는 없다는 뜻이다.

단, 알큐비에레 워프같은 경우는 시공간을 접어서 움직이기 때문에시공간이 오그라든다! 이 법칙에 위배되지 않는다.

1.2.4 좌표 변환 방식의 변화[편집]

1.2.4.1 로렌츠 변환[편집]

[math]\displaystyle{ S^{'}\left(x^{'},y^{'},z^{'},t^{'}\right)=\gamma\left( S\left(x,y,z,t\right)-\left(v_x t,v_y t,v_z t,\frac{\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{c^2}\right) \right) }[/math]

이 식으로부터 위의 길이 수축과 시간 팽창을 유도해낼 수 있다.

1.2.4.2 갈릴레이 변환[편집]

고전 역학에서 사용하던 방식이다.

[math]\displaystyle{ s^{'}\left(x^{'},y^{'},z^{'},t^{'}\right)=s\left(x,y,z,t\right)-\left(v_x t,v_y t,v_z t,0\right) }[/math]

2 일반 상대성 이론[편집]

2.1 중력이 빛보다 빠르다니요!![편집]

아인슈타인의 상대성이론에 따르면 빛보다 빠른 물질은 있을 수 없었다. 하지만 뉴턴역학에서는 중력의 전달속도가 빛보다 빨랐다. (아니 뉴턴은 아예 중력이 전달되는 속도란 개념을 생각도 하지 않았다.) 이러한 점과 뉴턴역학으로는 빛이 거대한 항성을 지날때 휘는 이유를 설명할 수 없었기에 아인슈타인은 자신의 이론에 맞는 새로운 중력이론을 쓰기로 한다.

2.2 공간이 휘었군 크큭[편집]

간단하게 말하자면 다음과 같다. 빛은 가장 빠른 경로로 나아간다. 그런데 빛이 휘었다. 공간이 휘었으니 그 경로가 가장 빠른 경로가 되었으리라.

2.2.1 개요[편집]

특수상대성이론에서 등장하는 민코프스키 공간은 굽은 시공간의 국소적 모델로써 작용한다. 그렇다면 일반적 시공간은 어떻게 정의될까? 각 부분마다 민코프스키 공간과 비슷하게 생긴 공간이 바로 일반적 시공간이다. 즉 sub-Riemannian metric이 주어진 4차원 다양체이다. sub-Riemannian이라 함은 riemannian metric의 거의 모든 성질들을 만족하지만 <v,w>가 항상 0 이상일 필요는 없다는 것이다. 예를 들어서, 빛이 아닌 입자의 속도 (시공간 안에서의 속도!)를 sub-Riemannian metric으로 스스로 내적하면 항상 -1이 나온다.

2.2.2 시공간에서의 입자의 궤적[편집]

이 metric tensor을 사용하면 geodesic을 정의할 수 있고 (metric tensor에 의해 생기는 connection coefficient 계산이 먼저 필요하다) 이 geodesic이 힘 안받고 가만히 놔둔 입자의 궤적이다. 즉 빛 따위의 궤적이나 자유낙하하는 물체가 이에 해당한다. 이때, 중력은 아예 힘이 아닌걸로 친다.

2.2.3 아인슈타인 방정식[편집]

그렇다면 이 metric은 어떻게 결정될까? Einstein Field Equation에 의해 결정된다. 곡률의 직관을 일반화한 curvature tensor를 사용하여 einstein tensor를 정의할 수 있는데, 아인슈타인 방정식이 말하는 것은 이 tensor가 stress-energy tensor의 상수배라는 것이다. 직관적으로 말해서 각 점에서의 물질과 에너지의 움직임이 그 점에서의 metric tensor의 값을 결정한다는 뜻이다. 말은 쉽지만, Einstein Field Equation을 metric에 대해 완전히 풀어서 쓰면 10개의 편미분방정식이 나타나므로 이걸 explicit하게 푸는 건 사실상 불가능이다. 아주 특수한 경우에만 풀렸으며, 이중 하나가 유명한 슈바르츠쉴트 블랙홀이다.

2.3 공간이 휘어지면 이렇게 되어버리는데요?[편집]

2.3.1 시간이 느려집니다.[편집]

각 입자마다 다르게 흐르는 proper time이 일반상대성 이론에서의 시간의 개념이다. 절대적인 시간따위는 존재하지 않지만, 국소적 민코프스키공간 모델에 의하여 "국소적 시간"이 정의될 수 있으며, 이것은 사실상 그 점을 지나는 입자의 순간적 시간개념과 같다. 그렇다면 A라는 관찰자가 B라는 관찰자보다 시간이 느리게 흐른다는 것은 무엇을 뜻할까? 사실 정확히 정의할 수 있는 개념은 아니지만, 멀리 중력이 강한 곳으로 날아간 관찰자 B가 중력이 약한 곳의 A와 빛 등으로 교신을 할 때의 시간차 정도로 이야기할 수는 있다. 예를 들어, B가 1초마다 빛을 A에게 쏘면 A는 그 신호를 1년 간격으로 받을 수도 있는 것이다. B가 5초 늙었다는 편지를 A에게 보내면 그동안 A는 5년이 늙어 있는 것이다.
왜 느려지는 걸까 직접 실험해보자 너님이 빛의 겉보기속도를 측정할정도의 동체시력을 가졌다면 말이지 레이저를 두 개 준비하고 발사해보자. 하나는 다른 하나보다 태양에 가까이 붙어서 이동한다. 자 여기서부터 머리를 굴려보자. 두 빛이 휜 경로를 보면 태양에 가까운쪽의 경로가 더 짧아지는 것을 알 수 있다. 자 광속은 일정함으로 C=거리/시간이다. 그런데 거리가 줄어들었다. 따라서 시간도 줄었다는 결과를 얻을 수 있다. 이는 중력이 강한곳일수록 시간이 느려짐을 증명해준다.

2.3.2 빛이 빨개집니다.[편집]

빛이 스스로 진동하는 시간이 느려지고 해서 강한 중력장에서 쏘는 빛은 밖으로 나갈 때 빨개지기도 한다. 이를 적색편이라고 한다.

2.3.3 블랙홀이 생깁니다.[편집]

중력이 항성의 내부적 지탱력을 이겨내서 완전히 항성을 박살내버리는 경우가 있다. 오펜하이머와 스나이더가 아주 이상적인 상황에서 이 상황을 스케치해본 것이 블랙홀 이론의 시작이다. 그들이 내건 가정은 항성의 표면이 내부의 압력이 하나도 없는 상태에서 자유낙하하는 (위 항목에서의 geodesic equation이 표현하는 궤적) 것으로 가정했을 때, 표면이 언젠가는 완전히 점으로 수축해버리며, 슈바르츠쉴트 시공간에서의 2M/G 안으로는 아무것도 볼 수 없다는 것을 알아냈다. 아무것도 볼 수 없다는 것... 블랙홀이다. 그니까 직관적으로 말하자면 일정 부피에 일정 질량(임계밀도)을 넘어서게 되면 중력이 겁나게 쎄지고 시공간이 휘어지고 휘어지다 구멍이 뚤려버린다는 계산결과가 나왔고 이러한 현상을 만드는 천체에 블랙홀이라는 이름을 붙였다.

블랙홀의 "표면"이 존재해서 이 안밖으로 모든 정보가 차단된다는 것은 아주 매력적이나, 붕괴하는 행성 표면의 입자는 유한한 시간 (그 입자의 proper time) 내에 완전히 하나의 점으로 치닫아버린다는 것과 그 한 점에서는 더 이상 아인슈타인 방정식이 성립하지 않는다는 사실을 알게 되자, 물리학자들은 혼란에 빠졌다. 일반상대성이론의 아름다움과 실험적 정확성에 반하는 이 결과를 대체 어떻게 목도한다는 것인가? 그래서 그들은 애써 무시했다. 그런 블랙홀 따위는 생기지 않을 거라고. 하지만 스티븐 호킹로저 펜로즈가 증명한 결과에 따르면, 어떤 상황에서도 결국에 시공간의 특이점 (singularity)는 생길 수밖에 없다. 블랙홀은 어쨌든 생긴다.

  1. Einstein, Albert (1905-06-30). "Zur Elektrodynamik bewegter Körper". Annalen der Physik 17 (10): 891–921. Bibcode:1905AnP...322..891E. doi:10.1002/andp.19053221004. See also a digitized version at Wikilivres:Zur Elektrodynamik bewegter Körper.