Bernoulli's Inequality
개요[편집 | 원본 편집]
해석학을 배울 때 반드시 배우게 되는 부등식. 야곱 베르누이 (Jacob Bernoulli)가 1689년에 처음 발표하였다. 이 부등식은 [math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^r }[/math]를 일차함수로 근사할 때 사용하며, 수학의 정석에도 나와있을 정도로 유명하다. 자세한 정리는 아래와 같다.
[math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^r\geq1+rx }[/math], 단 [math]\displaystyle{ x\geq-1 }[/math]인 실수, [math]\displaystyle{ r\geq0 }[/math]인 정수.
만약 조건을 조금 더 강화시켜 등호를 없앤다면 다음과 같다.
[math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^r\gt 1+rx }[/math], 단 [math]\displaystyle{ x\geq-1,\,x\neq0 }[/math]인 실수, [math]\displaystyle{ r\geq2 }[/math]인 정수.
증명은 수학적 귀납법을 사용하는 것이 일반적이다.
증명[편집 | 원본 편집]
수학적 귀납법: 1. [math]\displaystyle{ r=0 }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^0\geq1+0\cdot x \Leftrightarrow 1\geq1 }[/math]이므로 성립.
2. [math]\displaystyle{ r=k }[/math]일 때 성립한다 가정하자. 그럼, [math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^k\geq1+kx }[/math]. 한편, [math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^{k+1}=\left(1+x\right)^k\cdot\left(1+x\right)\geq\left(1+kx\right)\left(1+x\right)=1+kx+x+kx^2=1+\left(k+1\right)x+kx^2\geq1+\left(k+1\right)x }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ r=k+1 }[/math]일 때도 성립. i. ii.에 의하여 [math]\displaystyle{ r\geq0 }[/math]인 모든 정수 [math]\displaystyle{ r }[/math]에 대해 부등식이 성립한다.
직접 증명법: 이항전개해서 비교한다. (이건 r이 정수일 때나 통하지 정수 아니면 일반적으로 이항전개는 안 먹히므로 위의 방법이 조금은 더 실용적이다.)
확장[편집 | 원본 편집]
위 부등식으로는 [math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^r }[/math]를 근사하는 게 가능하나, 원래 식보다 작은값으로 밖에 추정을 못한다. 원래 식보다 큰값으로 추정을 하기 위해선 자연상수를 활용한다. 곧,
[math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^r\leq e^{rx} }[/math]
이다. 증명은 [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\lt e }[/math]임을 이용하여 간단하게 증명이 가능하다. 이제 이 부등식과 원래 부등식을 합치면,
[math]\displaystyle{ 1+rx\leq\left(1+x\right)^r\leq e^{rx} }[/math]
가 되고, 이는 [math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^r }[/math]의 근사값을 아주 간단하게 추정할 수 있게 만들어 준다.
그런데 만약 [math]\displaystyle{ r }[/math]이 정수가 아니라 실수라면? 이 때도 같은 부등식이 성립하나 [math]\displaystyle{ r }[/math]의 범위에 따라 부등호의 방향이 달라진다. >[math]\displaystyle{ x\geq-1 }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ \begin{cases} \left(1+x\right)^r\geq1+rx\quad & \text{ if }r\geq1,\,r\leq0 \\ \left(1+x\right)^r\leq1+rx\quad & \text{ if }0\leq r\leq1\end{cases} }[/math] 증명은 미분을 이용하여 간단하게 할 수 있으니 직접 해보자.