무리수의 근사

이 문서는 유리수를 이용하여 무리수를 얼마나 가깝게 근사할 수 있는 지 다룬다.

디레클레의 디오판토스 근사정리

[math]\displaystyle{ \alpha \gt 0 }[/math]이 무리수 라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \displaystyle \left |\alpha - \frac{p}{q} \right | \lt \frac{1}{q^2} }[/math] 를 만족하는 무한히 많은 양의 정수의 순서쌍 [math]\displaystyle{ (p,q) }[/math] 가 존재한다.

증명

증명하기에 앞서 다음과 같은 보조정리를 요구하자.

보조정리 1

양의 정수 [math]\displaystyle{ t }[/math] 에 대해 다음을 만족하는 양의 정수 [math]\displaystyle{ p, 1 \leq q \leq t }[/math] 가 존재한다. [math]\displaystyle{ \displaystyle | q \alpha - p | \lt 1/t }[/math]

보조정리의 증명

양의 정수 [math]\displaystyle{ t }[/math] 에 대해 다음을 고려하자. [math]\displaystyle{ a_i = i \alpha - \lfloor i \alpha \rfloor }[/math], where [math]\displaystyle{ 1 \leq i \leq t }[/math]. 그러면 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]가 무리수이므로 [math]\displaystyle{ a_i }[/math] 은 0이 될 수 없으며, floor 함수의 성질에 의해 [math]\displaystyle{ 1 \leq i \leq t, 0 \lt a_i \lt 1 }[/math]을 만족해야 한다.

이제 [math]\displaystyle{ 1 \leq i \leq t }[/math] 에 대해 구간 [math]\displaystyle{ I_i = \left ( \frac{i-1}{t} , \frac{i}{t} \right) }[/math] 를 잡으면 [math]\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^t I_i = (0,1) \setminus \{1/t,2/t,\dotsc,(t-1)/t\} }[/math] 이며 [math]\displaystyle{ I_i }[/math] 들은 각각에 대해 disjoint 하고, [math]\displaystyle{ a_j }[/math] 들은 무리수이므로 각각의 [math]\displaystyle{ 1 \leq i \leq t }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ a_i \in I_j }[/math] 인 자연수 [math]\displaystyle{ 1 \leq j \leq t }[/math] 가 존재한다.

이제 [math]\displaystyle{ a_i \in I_1 }[/math] 인 [math]\displaystyle{ 1 \leq i \leq t }[/math] 가 존재할 때와 그렇지 않을 때로 경우를 나누자.

Case i, [math]\displaystyle{ \exists 1\leq i \leq t, }[/math] such that, [math]\displaystyle{ a_i \in I_1 }[/math] 이것은 [math]\displaystyle{ 0\lt a_i = i \alpha - \lfloor i \alpha \rfloor \lt 1/t }[/math] 라는 것과 같다.

Case ii, [math]\displaystyle{ \not\exists 1 \leq i \leq t, }[/math] such that, [math]\displaystyle{ a_i \in I_1 }[/math] 이 경우에는 t개의 수 [math]\displaystyle{ a_1,\dotsc,a_t }[/math]가 t-1개의 구간 [math]\displaystyle{ I_2,\dotsc,I_t }[/math] 에 분배되어야 하므로 비둘기 집의 원리에 의해 다음을 만족하는 자연수 [math]\displaystyle{ 1 \leq i \lt j,k \leq t }[/math] 가 존재한다. [math]\displaystyle{ \displaystyle a_i,a_j \in I_k }[/math] 이것은 [math]\displaystyle{ 0\lt |a_j - a_i = (j-i)\alpha - (\lfloor qj \rfloor - \lfloor qi \rfloor) | \lt 1/t }[/math] 을 함의한다.

즉, 이상으로부터 우리는 임의의 자연수 t에 대해 양의 정수 [math]\displaystyle{ p, 1 \leq q \leq t }[/math] 가 존재하여 [math]\displaystyle{ | q \alpha - p | \lt 1/t }[/math] 임을 만족한다는 것을 얻는다.

이제 본정리를 증명하자. 그러한 양의 정수쌍들이 유한하다고 가정하고, 그것들을 [math]\displaystyle{ (p_1,q_1),\dotsc,(p_r,q_r) }[/math] 이라하자. 그런데 보조정리 1에 의해 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ t }[/math]에 대해 양의 정수 [math]\displaystyle{ p(t), 1 \leq q(t) \leq t }[/math] 가 존재하여 [math]\displaystyle{ |q(t) \alpha - p(t) | \lt 1/t \Rightarrow |\alpha - p(t)/q(t) | \lt 1/q(t)t \lt 1/q(t)^2 }[/math] 이므로, [math]\displaystyle{ q_1,\dotsc,q_r }[/math] 중 적어도 하나는 무한히 많은 자연수 [math]\displaystyle{ t \gt {max} \{q_1,\dotsc,q_r\} }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ |q \alpha - p| \lt 1/t }[/math] 을 만족해야 한다. 그것은 불가능하므로, 귀류법에 의해 그러한 양의 정수쌍들은 무한히 많이 존재한다.

리우빌의 디오판토스 근사정리

[math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 가 대수적 수라하고, 그것의 minimal polynomial의 차수가 [math]\displaystyle{ d \gt 1 }[/math] 라 하자. 그러면

[math]\displaystyle{ \displaystyle \left | \alpha - \frac{p}{q} \right | \lt \frac{1}{q^{d+1}} }[/math] 을 만족하는 양의 정수쌍 [math]\displaystyle{ (p,q) }[/math] 는 오직 유한개 뿐이다.

증명

그러한 [math]\displaystyle{ (p,q) }[/math] 가 무한히 많다고 가정하자. 그러면 그러한 양의 정수 쌍은 [math]\displaystyle{ 0\lt | \alpha - \frac{p}{q} | \lt \frac{1}{q^{d+1}} \lt 1 }[/math] 을 만족한다. 이제 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] 를 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]의 minimal polynomial이라 하면 일반성을 잃지 않고 그것의 계수는 모두 정수라고 말할 수 있으므로 [math]\displaystyle{ q^d f(p/q) }[/math]가 정수임을 알 수 있다. 또한 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 minimal polynomial 이므로 정의에 의해 [math]\displaystyle{ f(p/q) \neq 0 }[/math] 이므로 [math]\displaystyle{ |q^d f(p/q) | \geq 1 \Rightarrow |f(p/q) \geq \frac{1}{q^d} }[/math] 임을 얻는다. 또한, [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] 는 연속함수이므로 평균값 정리에 의해 [math]\displaystyle{ \gamma \in (p/q,\alpha) \cup (\alpha,p/q) \subset [\alpha-1,\alpha+1] }[/math] 가 존재하여, [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{f(p/q)}{p/q-\alpha}=\frac{f(p/q) - f(\alpha)}{p/q-\alpha}=f'(\gamma) }[/math] 을 만족한다.

이로부터 [math]\displaystyle{ \displaystyle |p/q-\alpha| = \left | \frac{f(p/q)}{f'(\gamma)} \right| \geq \frac{1}{|f'(\gamma)|q^d} }[/math] 임을 얻는다. 그런데 [math]\displaystyle{ [\alpha-1,\alpha+1] }[/math]은 유계된 공간이며, [math]\displaystyle{ |f'(x)| }[/math] 또한 연속이므로, [math]\displaystyle{ \forall x \in [\alpha-1,\alpha+1], |f'(x)| \lt K }[/math] 인 양의 실수가 존재한다.

즉, [math]\displaystyle{ \frac{1}{q^{d+1}} \gt |p/q-\alpha| \gt \frac{1}{|f'(\gamma)|q^d} \gt \frac{1}{Kq^d} }[/math] 를 얻고 이것은 [math]\displaystyle{ K \gt q }[/math] 임을 함의한다. 이것은 그러한 양의 정수쌍 [math]\displaystyle{ (p,q) }[/math] 가 무한히 많이 존재한다는 것에 모순이므로, 이 정리는 참이다.

Thue's Diophantine Approximation Theorem

[math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 가 대수적 수라하고, 그것의 minimal polynomial의 차수가 [math]\displaystyle{ d \gt 2 }[/math] 라 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0, C\gt 0 }[/math] 에 대해 다음을 만족하는 양의 정수쌍 [math]\displaystyle{ (p,q) }[/math] 는 유한개만 존재한다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle \left | \frac{p}{q} - \alpha \right | \leq \frac{C}{q^{\frac{1}{2}d+1+\epsilon}} }[/math]

증명

매우긴 증명이므로 관심있는 사람은 Silverman & Tate, "Rational Points on Elliptic Curve", 2nd Ed, Springer, Ch 5 를 참조할 것.

참고문헌

• LeVeque, "Fundamentals of number Theory", Dover
• Silverman & Tate, "Rational Points on Elliptic Curve", 2nd Ed, Springer