뫼비우스 함수

정의

자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 표준분해를 [math]\displaystyle{ n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r} }[/math]이라고 하자. 산술적 함수 [math]\displaystyle{ \mu:\mathbb{N}\to \mathbb{R} }[/math]이

[math]\displaystyle{ \mu(n)=\begin{cases} 1,&\text{if }n=1\\ (-1)^r,&\text{if }e_1=e_2=\cdots=e_r =1\\ 0,&\text{otherwise} \end{cases} }[/math]

로 정의될 때, [math]\displaystyle{ \mu }[/math]를 뫼비우스 함수(Möbius function)라고 한다. 즉, [math]\displaystyle{ n\;(\ge 2) }[/math]이

• 완전제곱수를 약수로 가지지 않으면서 서로 다른 소인수가 짝수 개라면 [math]\displaystyle{ \mu(n)=1 }[/math]이다.
• 완전제곱수를 약수로 가지지 않으면서 서로 다른 소인수가 홀수 개라면 [math]\displaystyle{ \mu(n)=-1 }[/math]이다.
• 완전제곱수를 약수로 가지면 [math]\displaystyle{ \mu(n)=0 }[/math]이다.

성질

• 뫼비우스 함수는 곱셈적 함수이다.
• [math]\displaystyle{ \sum_{d\mid n} \mu(d)=\begin{cases} 1,&\text{if }n=1\\ 0,&\text{if }n\gt 1 \end{cases} }[/math]