모듈러 형식

개요

모듈러 형식(modular form)은 특정 조건을 만족하는 복소함수이다. 주로 정수론에 다양한 쓰임새를 가지며(페르마의 마지막 정리, 이차 형식(quadratic form), 타원 곡선, ...) 조합론, 미분방정식은 물론 심지어 초끈 이론에까지 응용된다.

정의

정의

이하 글은 학부 수준의 간단한 복소함수론 지식과 대수학 지식을 가정합니다.

여러 가지 정의가 가능하지만, 우선 가장 간단하지만 알아듣기 힘든 정의부터 소개한다:

복소함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 복소 반평면 [math]\displaystyle{ \mathbb H = \{z|\Im(z)\gt 0\} }[/math]에서 정의된 미분가능한 함수라고 하자. 어떤 고정된 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ f }[/math]가 두 가지 조건을 더 만족하면 [math]\displaystyle{ f }[/math]를 무게 [math]\displaystyle{ k }[/math]의 모듈러 형식이라고 한다.

1. [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}a&b\\c&d \end{bmatrix}\in \text{SL}_2\mathbb Z }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ f(\frac{az+b}{cz+d})=(cz+d)^{k}f(z) }[/math]가 만족된다. 2. [math]\displaystyle{ y }[/math]가 무한으로 달려갈때, [math]\displaystyle{ f(iy) }[/math]는 sub-exponential growth를 가진다.

이 정의를 처음 봤다면 자연스럽게 들 수 있는 질문들이 세 가지 있다:

1. 왜 복소 반평면에서 굳이 정의하는가?

2. SL2Z에 대해 저런 이상한 변환조건은 왜 있는가?

3. 허수적 무한대로 갈때의 의미는 대체 무엇인가?

정의의 직관

이게 다 푸리에 시리즈 때문에 일어난 일이다.

[SL2Z is generated by translation and z->-1/z, etc. etc.]

성질과 응용들

차원

모듈러 형식의 가장 중요한 성질 중 하나는 모듈러 형식을 죄다 모음으로써 생기는 [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]-벡터 공간의 차원이 알려져 있다는 것이다.

무게 [math]\displaystyle{ k }[/math]의 모듈러 형식을 죄다 모아서 [math]\displaystyle{ M_k(\Gamma) }[/math]라고 하자. ([math]\displaystyle{ \Gamma=SL_2\mathbb Z }[/math]) 그리고 얘네를 모두 direct sum 해서 생기는 graded ring을 [math]\displaystyle{ M_*(\Gamma) }[/math]라고 하자. 그러면 다음 성질이 성립한다:

1. [math]\displaystyle{ M_0(\Gamma), M_1(\Gamma), M_2(\Gamma), \cdots }[/math]의 차원은 다음과 같다:

1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 0 1 0 2 0 2 0 2 0 2 0 3 0 2 0 3 0 3 0 3 0 3 0 ...

2. [math]\displaystyle{ E_4, E_6 }[/math]라는 특별한 모듈러 형식에 대해, [math]\displaystyle{ M_*(\Gamma)=\mathbb C[E_4,E_6] }[/math]이다. 즉, [math]\displaystyle{ E_4, E_6 }[/math]의 곱과 합으로 모든 모듈러 형식을 다 표현할 수 있다는 것이다.

모듈러 형식의 차원이 유한하다는 것 덕분에, 어떤 두 모듈러 형식이 같다는 것을 보이고 싶으면 첫 몇개의 항만 체크하면 충분하다는 것을 알 수 있다. 예를 들어, [math]\displaystyle{ E_4^2 }[/math]와 [math]\displaystyle{ E_8 }[/math]는 둘 다 무게 8의 모듈러 형식이지만 무게 8의 모듈러 형식들의 공간은 1차원이기에 [math]\displaystyle{ E_4^2 }[/math]와 [math]\displaystyle{ E_8 }[/math]는 서로 일정 비를 만족하게 된다. 따라서 두 모듈러 형식의 (푸리에 전개의) 상수항만 보면 충분하고, 이 상수항이 같기 때문에 [math]\displaystyle{ E_4^2 = E_8 }[/math]이다.

비슷하게 [math]\displaystyle{ E_4 E_6 = E_{10}, E_6E_8 = E_4 E_{10}, E_{14} }[/math]이다. 아이젠슈타인 시리즈의 푸리에 전개에서 따라서 다음의 신묘한 정수론적 정리들을 얻을 수 있다:

[math]\displaystyle{ \sum_{m=1}^{n-1} \sigma_3(m) \sigma_3(n-m) = \frac1{120}(\sigma_7(n) - \sigma_3(n)) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{m=1}^{n-1} \sigma_3(m) \sigma_9(n-m) = \frac1{120}(\sigma_{13}(n) - 11\sigma_9(n)+10 \sigma_3(n)) }[/math]

모듈러 판별식, 바이어슈트라스 P와 타원곡선

타원곡선 = 도넛

그렇게 생기는 타원곡선의 판별식은 바로 무게 12 모듈러 형식. 아주 쓸데가 많다.

분할 함수

모듈러 판별식과 분할 수(partition number)의 생성함수(generating function)을 곱하면 1이 된다. 이것 덕분에 분할 수의 점화식을 바로 얻을 수 있다.

자연수를 네 개의 제곱수로 나타내보자

예를 들어서 8이 있다면 이것은 [math]\displaystyle{ 8=2^2+2^2+0^2+0^2 }[/math] 라고 표현 가능하다. 그리고 Lagrange four square theorem에 의하면 모든 자연수 n은 적당한 네 자연수 x,y,z,w가 있어서 [math]\displaystyle{ n=x^2+y^2+z^2+w^2 }[/math] 이 된다. 그렇다면 다음을 정의하자. [math]\displaystyle{ \vartheta(z)=\sum^{\infty}_{k=-\infty}e^{i\zeta n^2} }[/math] 그렇다면 Fourier analysis의 정리 중 하나인 Poisson summation formula를 쓴다면 [math]\displaystyle{ (\vartheta(z))^4 }[/math]은 modular form of weight 12가 된다. 이제 basis하고 비교하는 걸로 우리는 어떤 자연수를 네 개 제곱수로 나타내는 경우의 수를 정확하게 셀 수 있다.